Theorem fnfvop 2856

Description: Equivalence of function value and ordered pair membership.

Hypothesis

Ref	Expression
fnfvbr.1	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
fnfvop	|- ((F Fn A /\ B e. A) -> ((F` B) = C <-> <.B, C>. e. F))

Proof of Theorem fnfvop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfvbr.1	. . 3 |- C e. V
2	1	fnfvbr 2855	. 2 |- ((F Fn A /\ B e. A) -> ((F` B) = C <-> BFC))
3		df-br 2063	. 2 |- (BFC <-> <.B, C>. e. F)
4	2, 3	syl6bb 414	1 |- ((F Fn A /\ B e. A) -> ((F` B) = C <-> <.B, C>. e. F))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  <.cop 1810   class class class wbr 2054   Fn wfn 2417  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  funfvop 2857  fnopabfv 2858  fniunfv 2860  fnsnfv 2861  fvopab3 2868  cleqfv 2880  fvi 2900  tfrlem11 2959  rdglim2 2987  tz7.48-1 2994  oprabval 3047  pw2en 3348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

metamath.org