Theorem fnopab2 2747

Description: Functionality and domain of an ordered pair abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fnopab2.1	|- B e. V
fnopab2.2	|- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}

Assertion

Ref	Expression
fnopab2	|- F Fn A

Distinct variable group(s):   x,y,A   y,B

Proof of Theorem fnopab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnopab2.1	. . . 4 |- B e. V
2	1	eueq1 1428	. . 3 |- E!y y = B
3	2	a1i 7	. 2 |- (x e. A -> E!y y = B)
4		fnopab2.2	. 2 |- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
5	3, 4	fnopab 2746	1 |- F Fn A

Syntax hints:   /\ wa 196  E!weu 1007   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  {copab 2055   Fn wfn 2417

This theorem is referenced by:  fnopabfv 2858  fo1st 3094  fo2nd 3095  pw2en 3348  mapxpen 3390  unfilem2 3439  aceq3lem 3555  aceq4 3557  ac6lem 3575  cffnon 3702  seqfnlem 4666  hosmvalt 5487  hodmvalt 5488  pjfn 5586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-fun 2432  df-fn 2433

metamath.org