Theorem frc 2172

Description: Property of founded relation (one direction of definition using class variables).

Hypothesis

Ref	Expression
frc.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
frc	|- (R Fr A -> ((B (_ A /\ -. B = (/)) -> E.x e. B (B i^i {y | yRx}) = (/)))

Distinct variable group(s):   x,y,R   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem frc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffr2 2171	. 2 |- (R Fr A <-> A.z((z (_ A /\ -. z = (/)) -> E.x e. z (z i^i {y | yRx}) = (/)))
2		frc.1	. . 3 |- B e. V
3		sseq1 1521	. . . . 5 |- (z = B -> (z (_ A <-> B (_ A))
4		cleq1 1107	. . . . . 6 |- (z = B -> (z = (/) <-> B = (/)))
5	4	negbid 463	. . . . 5 |- (z = B -> (-. z = (/) <-> -. B = (/)))
6	3, 5	anbi12d 476	. . . 4 |- (z = B -> ((z (_ A /\ -. z = (/)) <-> (B (_ A /\ -. B = (/))))
7		ineq1 1638	. . . . . 6 |- (z = B -> (z i^i {y | yRx}) = (B i^i {y | yRx}))
8	7	cleq1d 1109	. . . . 5 |- (z = B -> ((z i^i {y | yRx}) = (/) <-> (B i^i {y | yRx}) = (/)))
9	8	rexeqd 1328	. . . 4 |- (z = B -> (E.x e. z (z i^i {y | yRx}) = (/) <-> E.x e. B (B i^i {y | yRx}) = (/)))
10	6, 9	imbi12d 474	. . 3 |- (z = B -> (((z (_ A /\ -. z = (/)) -> E.x e. z (z i^i {y | yRx}) = (/)) <-> ((B (_ A /\ -. B = (/)) -> E.x e. B (B i^i {y | yRx}) = (/))))
11	2, 10	cla4v 1400	. 2 |- (A.z((z (_ A /\ -. z = (/)) -> E.x e. z (z i^i {y | yRx}) = (/)) -> ((B (_ A /\ -. B = (/)) -> E.x e. B (B i^i {y | yRx}) = (/)))
12	1, 11	sylbi 174	1 |- (R Fr A -> ((B (_ A /\ -. B = (/)) -> E.x e. B (B i^i {y | yRx}) = (/)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  Vcvv 1348   i^i cin 1486   (_ wss 1487  (/)c0 1707   class class class wbr 2054   Fr wfr 2061

This theorem is referenced by:  frirr 2176  fr2nr 2177  fr3nr 2178  epfrc 2185

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-fr 2169

metamath.org