Theorem fri 2170

Description: Property of founded relation (one direction of definition).

Hypothesis

Ref	Expression
fri.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
fri	|- ((R Fr A /\ (B (_ A /\ -. B = (/))) -> E.x e. B A.y e. B -. yRx)

Distinct variable group(s):   x,y,R   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem fri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fr 2169	. . 3 |- (R Fr A <-> A.z((z (_ A /\ -. z = (/)) -> E.x e. z A.y e. z -. yRx))
2		fri.1	. . . 4 |- B e. V
3		sseq1 1521	. . . . . 6 |- (z = B -> (z (_ A <-> B (_ A))
4		cleq1 1107	. . . . . . 7 |- (z = B -> (z = (/) <-> B = (/)))
5	4	negbid 463	. . . . . 6 |- (z = B -> (-. z = (/) <-> -. B = (/)))
6	3, 5	anbi12d 476	. . . . 5 |- (z = B -> ((z (_ A /\ -. z = (/)) <-> (B (_ A /\ -. B = (/))))
7		raleq 1324	. . . . . 6 |- (z = B -> (A.y e. z -. yRx <-> A.y e. B -. yRx))
8	7	rexeqd 1328	. . . . 5 |- (z = B -> (E.x e. z A.y e. z -. yRx <-> E.x e. B A.y e. B -. yRx))
9	6, 8	imbi12d 474	. . . 4 |- (z = B -> (((z (_ A /\ -. z = (/)) -> E.x e. z A.y e. z -. yRx) <-> ((B (_ A /\ -. B = (/)) -> E.x e. B A.y e. B -. yRx)))
10	2, 9	cla4v 1400	. . 3 |- (A.z((z (_ A /\ -. z = (/)) -> E.x e. z A.y e. z -. yRx) -> ((B (_ A /\ -. B = (/)) -> E.x e. B A.y e. B -. yRx))
11	1, 10	sylbi 174	. 2 |- (R Fr A -> ((B (_ A /\ -. B = (/)) -> E.x e. B A.y e. B -. yRx))
12	11	imp 277	1 |- ((R Fr A /\ (B (_ A /\ -. B = (/))) -> E.x e. B A.y e. B -. yRx)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  Vcvv 1348   (_ wss 1487  (/)c0 1707   class class class wbr 2054   Fr wfr 2061

This theorem is referenced by:  wereu 2197

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-fr 2169

metamath.org