Theorem fsn 2895

Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of a ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
fsn.1	|- A e. V
fsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
fsn	|- (F:{A}-->{B} <-> F = {<.A, B>.})

Proof of Theorem fsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- y e. V
2	1	opelf 2762	. . . . . . . 8 |- ((F:{A}-->{B} /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. {A} /\ y e. {B}))
3		elsn 1820	. . . . . . . . 9 |- (x e. {A} <-> x = A)
4		elsn 1820	. . . . . . . . 9 |- (y e. {B} <-> y = B)
5	3, 4	anbi12i 369	. . . . . . . 8 |- ((x e. {A} /\ y e. {B}) <-> (x = A /\ y = B))
6	2, 5	sylib 173	. . . . . . 7 |- ((F:{A}-->{B} /\ <.x, y>. e. F) -> (x = A /\ y = B))
7	6	exp 291	. . . . . 6 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F -> (x = A /\ y = B)))
8		opeq12 1878	. . . . . . . . 9 |- ((x = A /\ y = B) -> <.x, y>. = <.A, B>.)
9	8	eleq1d 1155	. . . . . . . 8 |- ((x = A /\ y = B) -> (<.x, y>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
10		fsn.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. V
11	10	snid 1830	. . . . . . . . . 10 |- A e. {A}
12		feu 2767	. . . . . . . . . 10 |- ((F:{A}-->{B} /\ A e. {A}) -> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
13	11, 12	mpan2 519	. . . . . . . . 9 |- (F:{A}-->{B} -> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
14		fsn.2	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. V
15	14	eueq1 1428	. . . . . . . . . . 11 |- E!y y = B
16	15	biantru 543	. . . . . . . . . 10 |- (<.A, B>. e. F <-> (<.A, B>. e. F /\ E!y y = B))
17		euanv 1053	. . . . . . . . . . 11 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (<.A, B>. e. F /\ E!y y = B))
18		opeq2 1877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
19	18	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = B -> (<.A, y>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
20	19	pm5.32i 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y = B /\ <.A, y>. e. F) <-> (y = B /\ <.A, B>. e. F))
21	4	anbi1i 368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. {B} /\ <.A, y>. e. F) <-> (y = B /\ <.A, y>. e. F))
22		ancom 333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (y = B /\ <.A, B>. e. F))
23	20, 21, 22	3bitr4r 159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> (y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
24	23	bieu 1014	. . . . . . . . . . . 12 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> E!y(y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
25		df-reu 1207	. . . . . . . . . . . 12 |- (E!y e. {B}<.A, y>. e. F <-> E!y(y e. {B} /\ <.A, y>. e. F))
26	24, 25	bitr4 154	. . . . . . . . . . 11 |- (E!y(<.A, B>. e. F /\ y = B) <-> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
27	17, 26	bitr3 153	. . . . . . . . . 10 |- ((<.A, B>. e. F /\ E!y y = B) <-> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
28	16, 27	bitr 151	. . . . . . . . 9 |- (<.A, B>. e. F <-> E!y e. {B}<.A, y>. e. F)
29	13, 28	sylibr 175	. . . . . . . 8 |- (F:{A}-->{B} -> <.A, B>. e. F)
30	9, 29	syl5bir 184	. . . . . . 7 |- ((x = A /\ y = B) -> (F:{A}-->{B} -> <.x, y>. e. F))
31	30	com12 13	. . . . . 6 |- (F:{A}-->{B} -> ((x = A /\ y = B) -> <.x, y>. e. F))
32	7, 31	impbid 397	. . . . 5 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F <-> (x = A /\ y = B)))
33		opex 1893	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
34	33	elsnc 1826	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
35		visset 1350	. . . . . . 7 |- x e. V
36	35, 1, 14	opth 1898	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ y = B))
37	34, 36	bitr2 152	. . . . 5 |- ((x = A /\ y = B) <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})
38	32, 37	syl6bb 414	. . . 4 |- (F:{A}-->{B} -> (<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.}))
39	38	19.21aivv 944	. . 3 |- (F:{A}-->{B} -> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.}))
40		frel 2755	. . . . 5 |- (F:{A}-->{B} -> Rel F)
41	10	relsn 2485	. . . . 5 |- Rel {<.A, B>.}
42	40, 41	jctir 241	. . . 4 |- (F:{A}-->{B} -> (Rel F /\ Rel {<.A, B>.}))
43		cleqrel 2483	. . . 4 |- ((Rel F /\ Rel {<.A, B>.}) -> (F = {<.A, B>.} <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})))
44	42, 43	syl 12	. . 3 |- (F:{A}-->{B} -> (F = {<.A, B>.} <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. {<.A, B>.})))
45	39, 44	mpbird 171	. 2 |- (F:{A}-->{B} -> F = {<.A, B>.})
46	10, 14	f1osn 2827	. . . 4 |- {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}
47		f1oeq1 2795	. . . 4 |- (F = {<.A, B>.} -> (F:{A}-1-1-onto->{B} <-> {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}))
48	46, 47	mpbiri 169	. . 3 |- (F = {<.A, B>.} -> F:{A}-1-1-onto->{B})
49		f1of 2800	. . 3 |- (F:{A}-1-1-onto->{B} -> F:{A}-->{B})
50	48, 49	syl 12	. 2 |- (F = {<.A, B>.} -> F:{A}-->{B})
51	45, 50	impbi 139	1 |- (F:{A}-->{B} <-> F = {<.A, B>.})

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E!weu 1007   = wceq 1091   e. wcel 1092  E!wreu 1203  Vcvv 1348  {csn 1808  <.cop 1810  Rel wrel 2415  -->wf 2418  -1-1-onto->wf1o 2421

This theorem is referenced by:  fsn2 2896  mapsn 3269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-reu 1207  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437

metamath.org