Theorem fundmen 3333

Description: A function is equinumerous to its domain. Exercise 4 of [Suppes] p. 98.

Hypothesis

Ref	Expression
fundmen.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
fundmen	|- (Fun F -> dom F ~~ F)

Proof of Theorem fundmen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundmen.1	. . . 4 |- F e. V
2		dmexg 2551	. . . 4 |- (F e. V -> dom F e. V)
3	1, 2	ax-mp 6	. . 3 |- dom F e. V
4	3	a1i 7	. 2 |- (Fun F -> dom F e. V)
5		funopfv 2886	. . 3 |- ((Fun F /\ x e. dom F) -> <.x, (F` x)>. e. F)
6	5	exp 291	. 2 |- (Fun F -> (x e. dom F -> <.x, (F` x)>. e. F))
7		funrel 2681	. . 3 |- (Fun F -> Rel F)
8		elreldm 2554	. . . 4 |- ((Rel F /\ y e. F) -> |^||^|y e. dom F)
9	8	exp 291	. . 3 |- (Rel F -> (y e. F -> |^||^|y e. dom F))
10	7, 9	syl 12	. 2 |- (Fun F -> (y e. F -> |^||^|y e. dom F))
11		ssel2 1503	. . . . . . . 8 |- ((F (_ (V X. V) /\ y e. F) -> y e. (V X. V))
12		df-rel 2425	. . . . . . . . 9 |- (Rel F <-> F (_ (V X. V))
13	7, 12	sylib 173	. . . . . . . 8 |- (Fun F -> F (_ (V X. V))
14	11, 13	sylan 343	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ y e. F) -> y e. (V X. V))
15		elvv 2464	. . . . . . 7 |- (y e. (V X. V) <-> E.zE.w y = <.z, w>.)
16	14, 15	sylib 173	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ y e. F) -> E.zE.w y = <.z, w>.)
17		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = |^||^|y -> (x = z <-> |^||^|y = z))
18		inteq 1968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = <.z, w>. -> |^|y = |^|<.z, w>.)
19	18	inteqd 1970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = <.z, w>. -> |^||^|y = |^||^|<.z, w>.)
20		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. V
21	20	op1stb 1992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- |^||^|<.z, w>. = z
22	19, 21	syl6eq 1140	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = <.z, w>. -> |^||^|y = z)
23	17, 22	syl5bir 184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = |^||^|y -> (y = <.z, w>. -> x = z))
24		opeq1 1876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = z -> <.x, w>. = <.z, w>.)
25	23, 24	syl6 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = |^||^|y -> (y = <.z, w>. -> <.x, w>. = <.z, w>.))
26	25	imp 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.) -> <.x, w>. = <.z, w>.)
27		cleq2 1110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.x, w>. = <.z, w>. -> (y = <.x, w>. <-> y = <.z, w>.))
28	27	biimprcd 138	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = <.z, w>. -> (<.x, w>. = <.z, w>. -> y = <.x, w>.))
29	28	adantl 305	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.) -> (<.x, w>. = <.z, w>. -> y = <.x, w>.))
30	26, 29	mpd 46	. . . . . . . . . . 11 |- ((x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.) -> y = <.x, w>.)
31	30	ancoms 334	. . . . . . . . . 10 |- ((y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y) -> y = <.x, w>.)
32	31	adantl 305	. . . . . . . . 9 |- (((Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y)) -> y = <.x, w>.)
33	30	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.) -> (y e. F <-> <.x, w>. e. F))
34	33	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Fun F /\ (x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.)) -> (y e. F <-> <.x, w>. e. F))
35		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. V
36	35	funfvopi 2853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Fun F -> (<.x, w>. e. F -> (F` x) = w))
37	36	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Fun F /\ (x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.)) -> (<.x, w>. e. F -> (F` x) = w))
38	34, 37	sylbid 178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Fun F /\ (x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.)) -> (y e. F -> (F` x) = w))
39	38	exp32 294	. . . . . . . . . . . 12 |- (Fun F -> (x = |^||^|y -> (y = <.z, w>. -> (y e. F -> (F` x) = w))))
40	39	com24 37	. . . . . . . . . . 11 |- (Fun F -> (y e. F -> (y = <.z, w>. -> (x = |^||^|y -> (F` x) = w))))
41	40	imp43 288	. . . . . . . . . 10 |- (((Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y)) -> (F` x) = w)
42		opeq2 1877	. . . . . . . . . 10 |- ((F` x) = w -> <.x, (F` x)>. = <.x, w>.)
43	41, 42	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (((Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y)) -> <.x, (F` x)>. = <.x, w>.)
44	32, 43	eqtr4d 1131	. . . . . . . 8 |- (((Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y)) -> y = <.x, (F` x)>.)
45	44	exp32 294	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ y e. F) -> (y = <.z, w>. -> (x = |^||^|y -> y = <.x, (F` x)>.)))
46	45	19.23advv 955	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ y e. F) -> (E.zE.w y = <.z, w>. -> (x = |^||^|y -> y = <.x, (F` x)>.)))
47	16, 46	mpd 46	. . . . 5 |- ((Fun F /\ y e. F) -> (x = |^||^|y -> y = <.x, (F` x)>.))
48	47	adantrl 311	. . . 4 |- ((Fun F /\ (x e. dom F /\ y e. F)) -> (x = |^||^|y -> y = <.x, (F` x)>.))
49		inteq 1968	. . . . . . 7 |- (y = <.x, (F` x)>. -> |^|y = |^|<.x, (F` x)>.)
50	49	inteqd 1970	. . . . . 6 |- (y = <.x, (F` x)>. -> |^||^|y = |^||^|<.x, (F` x)>.)
51		visset 1350	. . . . . . 7 |- x e. V
52	51	op1stb 1992	. . . . . 6 |- |^||^|<.x, (F` x)>. = x
53	50, 52	syl6req 1141	. . . . 5 |- (y = <.x, (F` x)>. -> x = |^||^|y)
54	53	a1i 7	. . . 4 |- ((Fun F /\ (x e. dom F /\ y e. F)) -> (y = <.x, (F` x)>. -> x = |^||^|y))
55	48, 54	impbid 397	. . 3 |- ((Fun F /\ (x e. dom F /\ y e. F)) -> (x = |^||^|y <-> y = <.x, (F` x)>.))
56	55	exp 291	. 2 |- (Fun F -> ((x e. dom F /\ y e. F) -> (x = |^||^|y <-> y = <.x, (F` x)>.)))
57	4, 6, 10, 56	en3d 3304	1 |- (Fun F -> dom F ~~ F)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   (_ wss 1487  <.cop 1810  |^|cint 1965   class class class wbr 2054   X. cxp 2408  dom cdm 2410  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416  ` cfv 2422   ~~ cen 3271

This theorem is referenced by:  infmap2 4953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-en 3274

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