Theorem funfvima2 2905

Description: A function's value in an included pre-image belongs to the image.

Assertion

Ref	Expression
funfvima2	|- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))

Proof of Theorem funfvima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvima 2904	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))
2	1	exp 291	. . . . 5 |- (Fun F -> (B e. dom F -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
3	2	com23 32	. . . 4 |- (Fun F -> (B e. A -> (B e. dom F -> (F` B) e. (F"A))))
4	3	a2d 15	. . 3 |- (Fun F -> ((B e. A -> B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
5		ssel 1502	. . 3 |- (A (_ dom F -> (B e. A -> B e. dom F))
6	4, 5	syl5 22	. 2 |- (Fun F -> (A (_ dom F -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
7	6	imp 277	1 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092   (_ wss 1487  dom cdm 2410  "cima 2413  Fun wfun 2416  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  f1oweOLD 2944  tz7.49 2997  php3 3411  zornlem2 3604

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

metamath.org