Theorem funsn 2690

Description: A singleton of an ordered pair is a function.

Hypotheses

Ref	Expression
funsn.1	|- A e. V
funsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
funsn	|- Fun {<.A, B>.}

Proof of Theorem funsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsn.1	. . . 4 |- A e. V
2	1	relsn 2485	. . 3 |- Rel {<.A, B>.}
3		cleq2 1110	. . . . . . 7 |- (z = B -> (y = z <-> y = B))
4	3	biimparc 327	. . . . . 6 |- ((y = B /\ z = B) -> y = z)
5		opex 1893	. . . . . . . 8 |- <.x, y>. e. V
6	5	elsnc 1826	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
7		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- x e. V
8		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- y e. V
9		funsn.2	. . . . . . . . 9 |- B e. V
10	7, 8, 9	opth 1898	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ y = B))
11	10	pm3.27bd 263	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> y = B)
12	6, 11	sylbi 174	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} -> y = B)
13		opex 1893	. . . . . . . 8 |- <.x, z>. e. V
14	13	elsnc 1826	. . . . . . 7 |- (<.x, z>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, z>. = <.A, B>.)
15		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- z e. V
16	7, 15, 9	opth 1898	. . . . . . . 8 |- (<.x, z>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ z = B))
17	16	pm3.27bd 263	. . . . . . 7 |- (<.x, z>. = <.A, B>. -> z = B)
18	14, 17	sylbi 174	. . . . . 6 |- (<.x, z>. e. {<.A, B>.} -> z = B)
19	4, 12, 18	syl2an 349	. . . . 5 |- ((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
20	19	ax-gen 677	. . . 4 |- A.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
21	20	gen2 681	. . 3 |- A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
22	2, 21	pm3.2i 234	. 2 |- (Rel {<.A, B>.} /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z))
23		dffun4 2676	. 2 |- (Fun {<.A, B>.} <-> (Rel {<.A, B>.} /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)))
24	22, 23	mpbir 165	1 |- Fun {<.A, B>.}

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  {csn 1808  <.cop 1810  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416

This theorem is referenced by:  fun0 2691  f1osn 2827  fvsn 2879  tfrlem10 2958

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-fun 2432

metamath.org