Theorem funss 2682

Description: Subclass theorem for function predicate.

Assertion

Ref	Expression
funss	|- (A (_ B -> (Fun B -> Fun A))

Proof of Theorem funss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrel 2479	. . . 4 |- (A (_ B -> (Rel B -> Rel A))
2		funrel 2681	. . . 4 |- (Fun B -> Rel B)
3	1, 2	syl5 22	. . 3 |- (A (_ B -> (Fun B -> Rel A))
4		ssel 1502	. . . . . . . 8 |- (A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
5	4	syl4d 28	. . . . . . 7 |- (A (_ B -> ((<.x, y>. e. B -> y = z) -> (<.x, y>. e. A -> y = z)))
6	5	19.20dv 946	. . . . . 6 |- (A (_ B -> (A.y(<.x, y>. e. B -> y = z) -> A.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
7	6	19.22dv 947	. . . . 5 |- (A (_ B -> (E.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z) -> E.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
8	7	19.20dv 946	. . . 4 |- (A (_ B -> (A.xE.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z) -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
9		dffun5 2677	. . . . 5 |- (Fun B <-> (Rel B /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z)))
10	9	pm3.27bd 263	. . . 4 |- (Fun B -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z))
11	8, 10	syl5 22	. . 3 |- (A (_ B -> (Fun B -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
12	3, 11	jcad 455	. 2 |- (A (_ B -> (Fun B -> (Rel A /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z))))
13		dffun5 2677	. 2 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
14	12, 13	syl6ibr 186	1 |- (A (_ B -> (Fun B -> Fun A))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wcel 1092   (_ wss 1487  <.cop 1810  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416

This theorem is referenced by:  funeq 2683  fun0 2691  funres 2697  funcnvcnv 2701  funres11 2709  fodom 3613

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-fun 2432

metamath.org