Theorem funssres 2698

Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass.

Assertion

Ref	Expression
funssres	|- ((Fun F /\ G (_ F) -> (F |` dom G) = G)

Proof of Theorem funssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 1502	. . . . . . 7 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> <.x, y>. e. F))
2		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- x e. V
3	2	opeldm 2534	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. G -> x e. dom G)
4	3	a1i 7	. . . . . . 7 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> x e. dom G))
5	1, 4	jcad 455	. . . . . 6 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
6	5	adantl 305	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
7		eupick 1055	. . . . . . . . . . . 12 |- ((E!y<.x, y>. e. F /\ E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
8		funeu2 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun F /\ <.x, y>. e. F) -> E!y<.x, y>. e. F)
9	1	ancrd 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
10	9	19.22dv 947	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (G (_ F -> (E.y<.x, y>. e. G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
11	2	eldm2 2528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. dom G <-> E.y<.x, y>. e. G)
12	10, 11	syl5ib 181	. . . . . . . . . . . . 13 |- (G (_ F -> (x e. dom G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
13	12	imp 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ((G (_ F /\ x e. dom G) -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
14	7, 8, 13	syl2an 349	. . . . . . . . . . 11 |- (((Fun F /\ <.x, y>. e. F) /\ (G (_ F /\ x e. dom G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
15	14	exp43 301	. . . . . . . . . 10 |- (Fun F -> (<.x, y>. e. F -> (G (_ F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
16	15	com23 32	. . . . . . . . 9 |- (Fun F -> (G (_ F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
17	16	imp 277	. . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))))
18	17	com34 36	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G))))
19	18	pm2.43d 59	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G)))
20	19	imp3a 279	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> ((<.x, y>. e. F /\ x e. dom G) -> <.x, y>. e. G))
21	6, 20	impbid 397	. . . 4 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. G <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
22		visset 1350	. . . . 5 |- y e. V
23	22	opelres 2579	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G))
24	21, 23	syl6rbbr 417	. . 3 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
25	24	19.21aivv 944	. 2 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
26		ssrel 2479	. . . . . . 7 |- (G (_ F -> (Rel F -> Rel G))
27		funrel 2681	. . . . . . 7 |- (Fun F -> Rel F)
28	26, 27	syl5 22	. . . . . 6 |- (G (_ F -> (Fun F -> Rel G))
29	28	com12 13	. . . . 5 |- (Fun F -> (G (_ F -> Rel G))
30	29	imp 277	. . . 4 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> Rel G)
31		relres 2591	. . . 4 |- Rel (F |` dom G)
32	30, 31	jctil 240	. . 3 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (Rel (F |` dom G) /\ Rel G))
33		cleqrel 2483	. . 3 |- ((Rel (F |` dom G) /\ Rel G) -> ((F |` dom G) = G <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G)))
34	32, 33	syl 12	. 2 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> ((F |` dom G) = G <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G)))
35	25, 34	mpbird 171	1 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (F |` dom G) = G)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678  E!weu 1007   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  <.cop 1810  dom cdm 2410   |` cres 2412  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416

This theorem is referenced by:  fun2ssres 2699  funcnvres 2710  funssfv 2841

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-res 2430  df-fun 2432

metamath.org