Theorem fvco 2865

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
fvco	|- (((Fun F /\ Fun G) /\ A e. dom G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfco 2864	. . . . . . . . 9 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom (F o. G) <-> (G` A) e. dom F))
2	1	anbi2d 468	. . . . . . . 8 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((Fun F /\ A e. dom (F o. G)) <-> (Fun F /\ (G` A) e. dom F)))
3		fvex 2838	. . . . . . . . . . . 12 |- (F` (G` A)) e. V
4		opelcog 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. dom G /\ (F` (G` A)) e. V) -> (<.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
5	3, 4	mpan2 519	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. dom G -> (<.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
6	5	adantl 305	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (<.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
7		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. V
8	7	funfvop 2857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((G` A) = z <-> <.A, z>. e. G))
9		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (G` A) <-> (G` A) = z)
10	8, 9	syl5bb 410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (z = (G` A) <-> <.A, z>. e. G))
11	10	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((z = (G` A) /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F) <-> (<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
12	11	biexdv 936	. . . . . . . . . . 11 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (E.z(z = (G` A) /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
13		fvex 2838	. . . . . . . . . . . 12 |- (G` A) e. V
14		opeq1 1876	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (G` A) -> <.z, (F` (G` A))>. = <.(G` A), (F` (G` A))>.)
15	14	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (G` A) -> (<.z, (F` (G` A))>. e. F <-> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F))
16	13, 15	ceqsexv 1371	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z(z = (G` A) /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F) <-> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F)
17	12, 16	syl5bbr 412	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (<.(G` A), (F` (G` A))>. e. F <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
18	6, 17	bitr4d 409	. . . . . . . . 9 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (<.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G) <-> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F))
19		cleqid 1102	. . . . . . . . . 10 |- (F` (G` A)) = (F` (G` A))
20	3	funfvop 2857	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun F /\ (G` A) e. dom F) -> ((F` (G` A)) = (F` (G` A)) <-> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F))
21	19, 20	mpbii 168	. . . . . . . . 9 |- ((Fun F /\ (G` A) e. dom F) -> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F)
22	18, 21	syl5bir 184	. . . . . . . 8 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((Fun F /\ (G` A) e. dom F) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
23	2, 22	sylbid 178	. . . . . . 7 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((Fun F /\ A e. dom (F o. G)) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
24	23	exp4b 296	. . . . . 6 |- (Fun G -> (A e. dom G -> (Fun F -> (A e. dom (F o. G) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))))
25	24	com3r 35	. . . . 5 |- (Fun F -> (Fun G -> (A e. dom G -> (A e. dom (F o. G) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))))
26	25	imp41 286	. . . 4 |- ((((Fun F /\ Fun G) /\ A e. dom G) /\ A e. dom (F o. G)) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G))
27	3	funfvop 2857	. . . . . 6 |- ((Fun (F o. G) /\ A e. dom (F o. G)) -> (((F o. G)` A) = (F` (G` A)) <-> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
28		funco 2696	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ Fun G) -> Fun (F o. G))
29	27, 28	sylan 343	. . . . 5 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ A e. dom (F o. G)) -> (((F o. G)` A) = (F` (G` A)) <-> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
30	29	adantlr 310	. . . 4 |- ((((Fun F /\ Fun G) /\ A e. dom G) /\ A e. dom (F o. G)) -> (((F o. G)` A) = (F` (G` A)) <-> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
31	26, 30	mpbird 171	. . 3 |- ((((Fun F /\ Fun G) /\ A e. dom G) /\ A e. dom (F o. G)) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A)))
32	31	exp 291	. 2 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ A e. dom G) -> (A e. dom (F o. G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A))))
33		ndmfv 2848	. . . . . 6 |- (-. A e. dom (F o. G) -> ((F o. G)` A) = (/))
34	33	adantl 305	. . . . 5 |- (((Fun G /\ A e. dom G) /\ -. A e. dom (F o. G)) -> ((F o. G)` A) = (/))
35	1	negbid 463	. . . . . . 7 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (-. A e. dom (F o. G) <-> -. (G` A) e. dom F))
36		ndmfv 2848	. . . . . . 7 |- (-. (G` A) e. dom F -> (F` (G` A)) = (/))
37	35, 36	syl6bi 187	. . . . . 6 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (-. A e. dom (F o. G) -> (F` (G` A)) = (/)))
38	37	imp 277	. . . . 5 |- (((Fun G /\ A e. dom G) /\ -. A e. dom (F o. G)) -> (F` (G` A)) = (/))
39	34, 38	eqtr4d 1131	. . . 4 |- (((Fun G /\ A e. dom G) /\ -. A e. dom (F o. G)) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A)))
40	39	exp 291	. . 3 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (-. A e. dom (F o. G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A))))
41	40	adantll 309	. 2 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ A e. dom G) -> (-. A e. dom (F o. G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A))))
42	32, 41	pm2.61d 112	1 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ A e. dom G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (/)c0 1707  <.cop 1810  dom cdm 2410   o. ccom 2414  Fun wfun 2416  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  fvco2 2866  ac6lem 3575  uzrdgval 4657  hoco 5598

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

metamath.org