Theorem fvopab2 2878

Description: Value of a function given by an ordered pair abstraction.

Assertion

Ref	Expression
fvopab2	|- ((x e. A /\ B e. C) -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = B)

Distinct variable group(s):   x,y,A   y,B

Proof of Theorem fvopab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 1356	. . . 4 |- (B e. C -> E.y y = B)
2		ax-17 925	. . . . . 6 |- (x e. A -> A.y x e. A)
3		hbopab2 2113	. . . . . . . 8 |- (z e. {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} -> A.y z e. {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)})
4		ax-17 925	. . . . . . . 8 |- (z e. x -> A.y z e. x)
5	3, 4	hbfv 2837	. . . . . . 7 |- (z e. ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) -> A.y z e. ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x))
6		ax-17 925	. . . . . . 7 |- (z e. B -> A.y z e. B)
7	5, 6	hbeq 1171	. . . . . 6 |- (({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = B -> A.y({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = B)
8	2, 7	hbim 702	. . . . 5 |- ((x e. A -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = B) -> A.y(x e. A -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = B))
9	3	tz6.12f 2844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.x, y>. e. {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} /\ E!y<.x, y>. e. {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}) -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = y)
10		opabid 2099	. . . . . . . . . . . . 13 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} <-> (x e. A /\ y = B))
11	9, 10	sylanbr 345	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. A /\ y = B) /\ E!y<.x, y>. e. {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}) -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = y)
12		euanv 1053	. . . . . . . . . . . . 13 |- (E!y(x e. A /\ y = B) <-> (x e. A /\ E!y y = B))
13	10	bieu 1014	. . . . . . . . . . . . 13 |- (E!y<.x, y>. e. {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} <-> E!y(x e. A /\ y = B))
14		eueq 1427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. V <-> E!y y = B)
15	14	anbi2i 367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. A /\ B e. V) <-> (x e. A /\ E!y y = B))
16	12, 13, 15	3bitr4r 159	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. A /\ B e. V) <-> E!y<.x, y>. e. {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)})
17	11, 16	sylan2b 347	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. A /\ y = B) /\ (x e. A /\ B e. V)) -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = y)
18	17	exp43 301	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> (y = B -> (x e. A -> (B e. V -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = y))))
19	18	pm2.43a 60	. . . . . . . . 9 |- (x e. A -> (y = B -> (B e. V -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = y)))
20		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
21		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 |- (y = B -> (y e. V <-> B e. V))
22	20, 21	mpbii 168	. . . . . . . . 9 |- (y = B -> B e. V)
23	19, 22	syl7 24	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> (y = B -> (y = B -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = y)))
24	23	pm2.43d 59	. . . . . . 7 |- (x e. A -> (y = B -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = y))
25	24	com12 13	. . . . . 6 |- (y = B -> (x e. A -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = y))
26		cleq2 1110	. . . . . 6 |- (y = B -> (({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = y <-> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = B))
27	25, 26	sylibd 177	. . . . 5 |- (y = B -> (x e. A -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = B))
28	8, 27	19.23ai 746	. . . 4 |- (E.y y = B -> (x e. A -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = B))
29	1, 28	syl 12	. . 3 |- (B e. C -> (x e. A -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = B))
30	29	com12 13	. 2 |- (x e. A -> (B e. C -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = B))
31	30	imp 277	1 |- ((x e. A /\ B e. C) -> ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}` x) = B)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  E.wex 678   e. wel 803  E!weu 1007   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  <.cop 1810  {copab 2055  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  elrnopab 2884  fopab2 2891  abrexexlem2 2911  dom2d 3307  pw2en 3348  mapxpen 3390  xpmapenlem2 3392  xpmapenlem4 3394  xpmapenlem5 3395  ac6lem 3575

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438

metamath.org