Theorem fvopabg 2872

Description: The value of a function given by ordered pair abstraction.

Hypothesis

Ref	Expression
fvopabg.1	|- (x = A -> B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopabg	|- ((A e. D /\ C e. R) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)

Distinct variable group(s):   x,y,A   y,B   x,C,y

Proof of Theorem fvopabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvopabg.1	. . 3 |- (x = A -> B = C)
2		visset 1350	. . . . 5 |- x e. V
3	2	biantrur 544	. . . 4 |- (y = B <-> (x e. V /\ y = B))
4	3	biopabi 2103	. . 3 |- {<.x, y>. | y = B} = {<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}
5	1, 4	fvopab4g 2870	. 2 |- ((A e. V /\ C e. R) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)
6		elisset 1354	. 2 |- (A e. D -> A e. V)
7	5, 6	sylan 343	1 |- ((A e. D /\ C e. R) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  {copab 2055  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  fvopabgf 2874  1stval 3089  2ndval 3090  tz9.12lem3 3505  oncardval 3626  cardval 3633

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438

metamath.org