Theorem fvopabn 2873

Description: This somewhat non-intuitive theorem tells us the value of its function is the empty set when the class C it would otherwise map to is a proper class. This is a technical lemma that can help eliminate redundant sethood antecedents otherwise required by fvopabg 2872.

Hypothesis

Ref	Expression
fvopabg.1	|- (x = A -> B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopabn	|- (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))

Distinct variable group(s):   x,y,A   y,B   x,C,y

Proof of Theorem fvopabn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- z e. V
2	1	snnz 1846	. . . . . . . . 9 |- -. {z} = (/)
3		opeq1 1876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z = A -> <.z, w>. = <.A, w>.)
4	3	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = A -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
5	4	ceqsexgv 1412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. V -> (E.z(z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
6		elsn 1820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z e. {A} <-> z = A)
7	6	anbi1i 368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> (z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
8	7	biex 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> E.z(z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
9	5, 8	syl5bb 410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. V -> (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
10		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. V
11		fvopabg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = A -> B = C)
12	11	cleq2d 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = A -> (y = B <-> y = C))
13		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = w -> (y = C <-> w = C))
14	12, 13	opelopabg 2115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. V /\ w e. V) -> (<.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> w = C))
15	10, 14	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. V -> (<.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> w = C))
16	9, 15	bitrd 406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. V -> (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> w = C))
17	16	biabdv 1183	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. V -> {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})} = {w | w = C})
18		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = C -> (w e. V <-> C e. V))
19	10, 18	mpbii 168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = C -> C e. V)
20	19	19.23aiv 952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.w w = C -> C e. V)
21	20	con3i 90	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. C e. V -> -. E.w w = C)
22		abn0 1715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. {w | w = C} = (/) <-> E.w w = C)
23	22	bicon1i 193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. E.w w = C <-> {w | w = C} = (/))
24	21, 23	sylib 173	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. C e. V -> {w | w = C} = (/))
25	17, 24	sylan9eq 1144	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})} = (/))
26		dfima3 2605	. . . . . . . . . . . 12 |- ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})}
27	25, 26	syl5eq 1136	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = (/))
28	27	cleq1d 1109	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> (({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> (/) = {z}))
29		cleqcom 1103	. . . . . . . . . 10 |- ((/) = {z} <-> {z} = (/))
30	28, 29	syl6bb 414	. . . . . . . . 9 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> (({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> {z} = (/)))
31	2, 30	mtbiri 539	. . . . . . . 8 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> -. ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
32	31	19.21aiv 943	. . . . . . 7 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> A.z -. ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
33		alnex 716	. . . . . . . 8 |- (A.z -. ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> -. E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
34		abn0 1715	. . . . . . . . 9 |- (-. {z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = (/) <-> E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
35	34	bicon1i 193	. . . . . . . 8 |- (-. E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> {z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = (/))
36	33, 35	bitr 151	. . . . . . 7 |- (A.z -. ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> {z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = (/))
37	32, 36	sylib 173	. . . . . 6 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> {z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = (/))
38	37	unieqd 1929	. . . . 5 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> U.{z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = U.(/))
39		df-fv 2438	. . . . 5 |- ({<.x, y>. | y = B}` A) = U.{z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}}
40	38, 39	syl5eq 1136	. . . 4 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = U.(/))
41		uni0 1938	. . . 4 |- U.(/) = (/)
42	40, 41	syl6eq 1140	. . 3 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))
43	42	exp 291	. 2 |- (A e. V -> (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/)))
44		fvprc 2829	. . 3 |- (-. A e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))
45	44	a1d 14	. 2 |- (-. A e. V -> (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/)))
46	43, 45	pm2.61i 110	1 |- (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  (/)c0 1707  {csn 1808  <.cop 1810  U.cuni 1919  {copab 2055  "cima 2413  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  fvopabnf 2875

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438

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