Theorem genpn0 3900

Description: The result of an operation on positive reals is not empty.

Hypothesis

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}

Assertion

Ref	Expression
genpn0	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (/) (. (AFB))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z   x,w,v,u,G,y,z

Proof of Theorem genpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prn0 3887	. . . . . 6 |- (A e. P. -> -. A = (/))
2		n0 1714	. . . . . 6 |- (-. A = (/) <-> E.g g e. A)
3	1, 2	sylib 173	. . . . 5 |- (A e. P. -> E.g g e. A)
4		prn0 3887	. . . . . 6 |- (B e. P. -> -. B = (/))
5		n0 1714	. . . . . 6 |- (-. B = (/) <-> E.h h e. B)
6	4, 5	sylib 173	. . . . 5 |- (B e. P. -> E.h h e. B)
7	3, 6	anim12i 268	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.g g e. A /\ E.h h e. B))
8		exrot3 777	. . . . 5 |- (E.fE.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> E.gE.hE.f((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)))
9		19.42v 966	. . . . . . 7 |- (E.f((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> ((g e. A /\ h e. B) /\ E.f f = (gGh)))
10		oprex 3018	. . . . . . . 8 |- (gGh) e. V
11	10	isseti 1352	. . . . . . 7 |- E.f f = (gGh)
12	9, 11	mpbiranr 548	. . . . . 6 |- (E.f((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> (g e. A /\ h e. B))
13	12	bi2ex 734	. . . . 5 |- (E.gE.hE.f((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> E.gE.h(g e. A /\ h e. B))
14		eeanv 980	. . . . 5 |- (E.gE.h(g e. A /\ h e. B) <-> (E.g g e. A /\ E.h h e. B))
15	8, 13, 14	3bitr 155	. . . 4 |- (E.fE.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> (E.g g e. A /\ E.h h e. B))
16	7, 15	sylibr 175	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> E.fE.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)))
17		genp.1	. . . . . 6 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
18	17	genpv 3896	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) = {f | E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))})
19	18	cleqabd 1178	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) <-> E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))))
20	19	biexdv 936	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.f f e. (AFB) <-> E.fE.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))))
21	16, 20	mpbird 171	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> E.f f e. (AFB))
22		0pss 1730	. . 3 |- ((/) (. (AFB) <-> -. (AFB) = (/))
23		n0 1714	. . 3 |- (-. (AFB) = (/) <-> E.f f e. (AFB))
24	22, 23	bitr 151	. 2 |- ((/) (. (AFB) <-> E.f f e. (AFB))
25	21, 24	sylibr 175	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (/) (. (AFB))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196  E.wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202   (. wpss 1488  (/)c0 1707  (class class class)co 3001  {copab2 3002  P.cnp 3779

This theorem is referenced by:  genpcl 3905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-qs 3205  df-ni 3794  df-nq 3832  df-np 3880

metamath.org