Theorem genpnnp 3902

Description: The result of an operation on positive reals is different from the set of positive fractions.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
genpnnp.2	|- ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> (wGv) e. Q.)
genpnnp.3	|- (z e. Q. -> (x <Q y <-> (zGx) <Q (zGy)))
genpnnp.4	|- (xGy) = (yGx)

Assertion

Ref	Expression
genpnnp	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> -. (AFB) = Q.)

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z,w,v   x,u,G   y,w,v,u,G,z   w,A,v   w,B,v   w,F,v

Proof of Theorem genpnnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 3888	. . . . 5 |- (A e. P. -> A (. Q.)
2		pssnel 1752	. . . . 5 |- (A (. Q. -> E.w(w e. Q. /\ -. w e. A))
3	1, 2	syl 12	. . . 4 |- (A e. P. -> E.w(w e. Q. /\ -. w e. A))
4		prpssnq 3888	. . . . 5 |- (B e. P. -> B (. Q.)
5		pssnel 1752	. . . . 5 |- (B (. Q. -> E.v(v e. Q. /\ -. v e. B))
6	4, 5	syl 12	. . . 4 |- (B e. P. -> E.v(v e. Q. /\ -. v e. B))
7	3, 6	anim12i 268	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.w(w e. Q. /\ -. w e. A) /\ E.v(v e. Q. /\ -. v e. B)))
8		eeanv 980	. . 3 |- (E.wE.v((w e. Q. /\ -. w e. A) /\ (v e. Q. /\ -. v e. B)) <-> (E.w(w e. Q. /\ -. w e. A) /\ E.v(v e. Q. /\ -. v e. B)))
9	7, 8	sylibr 175	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> E.wE.v((w e. Q. /\ -. w e. A) /\ (v e. Q. /\ -. v e. B)))
10		prub 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ w e. Q.) -> (-. w e. A -> g <Q w))
11		prub 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((B e. P. /\ h e. B) /\ v e. Q.) -> (-. v e. B -> h <Q v))
12	10, 11	im2anan9 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ w e. Q.) /\ ((B e. P. /\ h e. B) /\ v e. Q.)) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> (g <Q w /\ h <Q v)))
13		ltsopq 3869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- <Q Or Q.
14		so2nr 2146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (( <Q Or Q. /\ (g e. Q. /\ w e. Q.)) -> -. (g <Q w /\ w <Q g))
15	13, 14	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((g e. Q. /\ w e. Q.) -> -. (g <Q w /\ w <Q g))
16	15	ad2antll 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((g e. Q. /\ w e. Q.) /\ (h e. Q. /\ v e. Q.)) /\ (wGv) = (gGh)) -> -. (g <Q w /\ w <Q g))
17		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- w e. V
18		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- v e. V
19		genpnnp.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (z e. Q. -> (x <Q y <-> (zGx) <Q (zGy)))
20		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- g e. V
21		genpnnp.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (xGy) = (yGx)
22		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- h e. V
23	17, 18, 19, 20, 21, 22	caoprord3 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((v e. Q. /\ g e. Q.) /\ (wGv) = (gGh)) -> (w <Q g <-> h <Q v))
24	23	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((v e. Q. /\ g e. Q.) /\ (wGv) = (gGh)) -> ((g <Q w /\ w <Q g) <-> (g <Q w /\ h <Q v)))
25		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((h e. Q. /\ v e. Q.) -> v e. Q.)
26		pm3.26 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((g e. Q. /\ w e. Q.) -> g e. Q.)
27	25, 26	anim12i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((h e. Q. /\ v e. Q.) /\ (g e. Q. /\ w e. Q.)) -> (v e. Q. /\ g e. Q.))
28	27	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((g e. Q. /\ w e. Q.) /\ (h e. Q. /\ v e. Q.)) -> (v e. Q. /\ g e. Q.))
29	24, 28	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((g e. Q. /\ w e. Q.) /\ (h e. Q. /\ v e. Q.)) /\ (wGv) = (gGh)) -> ((g <Q w /\ w <Q g) <-> (g <Q w /\ h <Q v)))
30	16, 29	mtbid 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((g e. Q. /\ w e. Q.) /\ (h e. Q. /\ v e. Q.)) /\ (wGv) = (gGh)) -> -. (g <Q w /\ h <Q v))
31	30	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((g e. Q. /\ w e. Q.) /\ (h e. Q. /\ v e. Q.)) -> ((wGv) = (gGh) -> -. (g <Q w /\ h <Q v)))
32	31	con2d 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((g e. Q. /\ w e. Q.) /\ (h e. Q. /\ v e. Q.)) -> ((g <Q w /\ h <Q v) -> -. (wGv) = (gGh)))
33		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. P. /\ g e. A) -> g e. Q.)
34	33	anim1i 269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ w e. Q.) -> (g e. Q. /\ w e. Q.))
35		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((B e. P. /\ h e. B) -> h e. Q.)
36	35	anim1i 269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((B e. P. /\ h e. B) /\ v e. Q.) -> (h e. Q. /\ v e. Q.))
37	32, 34, 36	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ w e. Q.) /\ ((B e. P. /\ h e. B) /\ v e. Q.)) -> ((g <Q w /\ h <Q v) -> -. (wGv) = (gGh)))
38	12, 37	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ w e. Q.) /\ ((B e. P. /\ h e. B) /\ v e. Q.)) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> -. (wGv) = (gGh)))
39	38	an4s 390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.)) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> -. (wGv) = (gGh)))
40	39	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> -. (wGv) = (gGh))))
41	40	an4s 390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (g e. A /\ h e. B)) -> ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> -. (wGv) = (gGh))))
42	41	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((g e. A /\ h e. B) -> ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> -. (wGv) = (gGh)))))
43	42	com24 37	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((-. w e. A /\ -. v e. B) -> ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> ((g e. A /\ h e. B) -> -. (wGv) = (gGh)))))
44	43	imp32 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ ((-. w e. A /\ -. v e. B) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.))) -> ((g e. A /\ h e. B) -> -. (wGv) = (gGh)))
45		imnan 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((g e. A /\ h e. B) -> -. (wGv) = (gGh)) <-> -. ((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh)))
46	44, 45	sylib 173	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ ((-. w e. A /\ -. v e. B) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.))) -> -. ((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh)))
47	46	nexdv 983	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ ((-. w e. A /\ -. v e. B) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.))) -> -. E.h((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh)))
48	47	nexdv 983	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ ((-. w e. A /\ -. v e. B) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.))) -> -. E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh)))
49	48	exp 291	. . . . . . . . 9 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((-. w e. A /\ -. v e. B) /\ (w e. Q. /\ v e. Q.)) -> -. E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ (wGv) = (gGh))))
50		genp.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
51	50	genpv 3896	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) = {f | E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))})
52	51	eleq2d 1156	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((wGv) e. (AFB) <-> (wGv)