Theorem genpss 3901

Description: The result of an operation on positive reals is a subset of the positive fractions.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
genpss.2	|- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (gGh) e. Q.)

Assertion

Ref	Expression
genpss	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) (_ Q.)

Distinct variable group(s):   x,y,z,g,h,A   x,B,y,z,g,h   x,w,v,u,G,y,z,g,h   g,F

Proof of Theorem genpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . . 5 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
2	1	genpv 3896	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) = {f | E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))})
3	2	cleqabd 1178	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) <-> E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))))
4		prpssnq 3888	. . . . . . . . . 10 |- (A e. P. -> A (. Q.)
5	4	pssssd 1568	. . . . . . . . 9 |- (A e. P. -> A (_ Q.)
6	5	sseld 1506	. . . . . . . 8 |- (A e. P. -> (g e. A -> g e. Q.))
7		prpssnq 3888	. . . . . . . . . 10 |- (B e. P. -> B (. Q.)
8	7	pssssd 1568	. . . . . . . . 9 |- (B e. P. -> B (_ Q.)
9	8	sseld 1506	. . . . . . . 8 |- (B e. P. -> (h e. B -> h e. Q.))
10	6, 9	im2anan9 434	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((g e. A /\ h e. B) -> (g e. Q. /\ h e. Q.)))
11		genpss.2	. . . . . . 7 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (gGh) e. Q.)
12	10, 11	syl6 23	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((g e. A /\ h e. B) -> (gGh) e. Q.))
13		eleq1a 1158	. . . . . 6 |- ((gGh) e. Q. -> (f = (gGh) -> f e. Q.))
14	12, 13	syl6 23	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((g e. A /\ h e. B) -> (f = (gGh) -> f e. Q.)))
15	14	imp3a 279	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) -> f e. Q.))
16	15	19.23advv 955	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) -> f e. Q.))
17	3, 16	sylbid 178	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> f e. Q.))
18	17	ssrdv 1509	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) (_ Q.)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  E.wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202   (_ wss 1487  (class class class)co 3001  {copab2 3002  Q.cnq 3773  P.cnp 3779

This theorem is referenced by:  genpcl 3905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-qs 3205  df-ni 3794  df-nq 3832  df-np 3880

metamath.org