Theorem halfpq 3876

Description: One-half of any positive fraction exists. Lemma for Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120.

Assertion

Ref	Expression
halfpq	|- (A e. Q. -> E.x(x +Q x) = A)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem halfpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 3832	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		cleq2 1110	. . 3 |- ([<.y, z>.] ~Q = A -> ((x +Q x) = [<.y, z>.] ~Q <-> (x +Q x) = A))
3	2	biexdv 936	. 2 |- ([<.y, z>.] ~Q = A -> (E.x(x +Q x) = [<.y, z>.] ~Q <-> E.x(x +Q x) = A))
4		addpipq 3848	. . . . . 6 |- (((y e. N. /\ (z +N z) e. N.) /\ (y e. N. /\ (z +N z) e. N.)) -> ([<.y, (z +N z)>.] ~Q +Q [<.y, (z +N z)>.] ~Q ) = [<.((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q )
5		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
6	5, 5	distrpi 3820	. . . . . . . . 9 |- ((z +N z) .N (y +N y)) = (((z +N z) .N y) +N ((z +N z) .N y))
7		oprex 3018	. . . . . . . . . . 11 |- (z +N z) e. V
8	5, 7	mulcompi 3818	. . . . . . . . . 10 |- (y .N (z +N z)) = ((z +N z) .N y)
9	8	opreq1i 3009	. . . . . . . . 9 |- ((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)) = (((z +N z) .N y) +N ((z +N z) .N y))
10	6, 9	eqtr4 1122	. . . . . . . 8 |- ((z +N z) .N (y +N y)) = ((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y))
11		opeq1 1876	. . . . . . . 8 |- (((z +N z) .N (y +N y)) = ((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)) -> <.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>. = <.((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.)
12	10, 11	ax-mp 6	. . . . . . 7 |- <.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>. = <.((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.
13		eceq2 3215	. . . . . . 7 |- (<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>. = <.((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>. -> [<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q = [<.((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q )
14	12, 13	ax-mp 6	. . . . . 6 |- [<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q = [<.((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q
15	4, 14	syl6eqr 1142	. . . . 5 |- (((y e. N. /\ (z +N z) e. N.) /\ (y e. N. /\ (z +N z) e. N.)) -> ([<.y, (z +N z)>.] ~Q +Q [<.y, (z +N z)>.] ~Q ) = [<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q )
16		addclpi 3814	. . . . . . 7 |- ((z e. N. /\ z e. N.) -> (z +N z) e. N.)
17	16	anidms 332	. . . . . 6 |- (z e. N. -> (z +N z) e. N.)
18	17	anim2i 270	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (y e. N. /\ (z +N z) e. N.))
19	15, 18, 18	sylanc 361	. . . 4 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> ([<.y, (z +N z)>.] ~Q +Q [<.y, (z +N z)>.] ~Q ) = [<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q )
20		oprex 3018	. . . . . 6 |- (y +N y) e. V
21	7, 20, 7	distrpqlem 3860	. . . . 5 |- (((z +N z) e. N. /\ (y +N y) e. N. /\ (z +N z) e. N.) -> [<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q = [<.(y +N y), (z +N z)>.] ~Q )
22	17	adantl 305	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (z +N z) e. N.)
23		addclpi 3814	. . . . . . 7 |- ((y e. N. /\ y e. N.) -> (y +N y) e. N.)
24	23	anidms 332	. . . . . 6 |- (y e. N. -> (y +N y) e. N.)
25	24	adantr 306	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (y +N y) e. N.)
26	21, 22, 25, 22	syl3anc 629	. . . 4 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> [<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q = [<.(y +N y), (z +N z)>.] ~Q )
27		mulidpi 3808	. . . . . . . . 9 |- (y e. N. -> (y .N 1o) = y)
28	27, 27	opreq12d 3014	. . . . . . . 8 |- (y e. N. -> ((y .N 1o) +N (y .N 1o)) = (y +N y))
29		oprex 3018	. . . . . . . . . 10 |- (1o +N 1o) e. V
30	5, 29	mulcompi 3818	. . . . . . . . 9 |- (y .N (1o +N 1o)) = ((1o +N 1o) .N y)
31		1pi 3805	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. N.
32	31	elisseti 1355	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. V
33	32, 32	distrpi 3820	. . . . . . . . 9 |- (y .N (1o +N 1o)) = ((y .N 1o) +N (y .N 1o))
34	30, 33	eqtr3 1121	. . . . . . . 8 |- ((1o +N 1o) .N y) = ((y .N 1o) +N (y .N 1o))
35	28, 34	syl5eq 1136	. . . . . . 7 |- (y e. N. -> ((1o +N 1o) .N y) = (y +N y))
36		mulidpi 3808	. . . . . . . . 9 |- (z e. N. -> (z .N 1o) = z)
37	36, 36	opreq12d 3014	. . . . . . . 8 |- (z e. N. -> ((z .N 1o) +N (z .N 1o)) = (z +N z))
38		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- z e. V
39	38, 29	mulcompi 3818	. . . . . . . . 9 |- (z .N (1o +N 1o)) = ((1o +N 1o) .N z)
40	32, 32	distrpi 3820	. . . . . . . . 9 |- (z .N (1o +N 1o)) = ((z .N 1o) +N (z .N 1o))
41	39, 40	eqtr3 1121	. . . . . . . 8 |- ((1o +N 1o) .N z) = ((z .N 1o) +N (z .N 1o))
42	37, 41	syl5eq 1136	. . . . . . 7 |- (z e. N. -> ((1o +N 1o) .N z) = (z +N z))
43	35, 42	anim12i 268	. . . . . 6 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (((1o +N 1o) .N y) = (y +N y) /\ ((1o +N 1o) .N z) = (z +N z)))
44		opeq12 1878	. . . . . 6 |- ((((1o +N 1o) .N y) = (y +N y) /\ ((1o +N 1o) .N z) = (z +N z)) -> <.((1o +N 1o) .N y), ((1o +N 1o) .N z)>. = <.(y +N y), (z +N z)>.)
45		eceq2 3215	. . . . . 6 |- (<.((1o +N 1o) .N y), ((1o +N 1o) .N z)>. = <.(y +N y), (z +N z)>. -> [<.((1o +N 1o) .N y), ((1o +N 1o) .N z)>.] ~Q = [<.(y +N y), (z +N z)>.] ~Q )
46	43, 44, 45	3syl 21	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> [<.((1o +N 1o) .N y), ((1o +N 1o) .N z)>.] ~Q = [<.(y +N y), (z +N z)>.] ~Q )
47		addclpi 3814	. . . . . . 7 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> (1o +N 1o) e. N.)
48	31, 31, 47	mp2an 520	. . . . . 6 |- (1o +N 1o) e. N.
49	29, 5, 38	distrpqlem 3860	. . . . . 6 |- (((1o +N 1o) e. N. /\ y e. N. /\ z e. N.) -> [<.((1o +N 1o) .N y), ((1o +N 1o) .N z)>.] ~Q = [<.y, z>.] ~Q )
50	48, 49	mp3an1 639	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> [<.((1o +N 1o) .N y), ((1o +N 1o) .N z)>.] ~Q = [<.y, z>.] ~Q )
51	46, 50	eqtr3d 1130	. . . 4 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> [<.(y +N y), (z +N z)>.] ~Q = [<.y, z>.] ~Q )
52	19, 26, 51	3eqtrd 1132	. . 3 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> ([<.y, (z +N z)>.] ~Q +Q [<.y, (z +N z)>.] ~Q ) = [<.y, z>.] ~Q )
53		enqex 3842	. . . . 5 |- ~Q e. V
54		ecexg 3204	. . . . 5 |- ( ~Q e. V -> [<.y, (z +N z)>.] ~Q e. V)
55	53, 54	ax-mp 6	. . . 4 |- [<.y, (z +N z)>.] ~Q e. V
56		opreq12 3008	. . . . . 6 |- ((x = [<.y, (z +N z)>.] ~Q /\ x = [<.y, (z +N z)>.] ~Q ) -> (x +Q x) = ([<.y, (z +N z)>.] ~Q +Q [<.y, (z +N z)>.] ~Q ))
57	56	anidms 332	. . . . 5 |- (x = [<.y, (z +N z)>.] ~Q -> (x +Q x) = ([<.y, (z +N z)>.]