Theorem hbco 2508

Description: Bound-variable hypothesis builder for function value.

Hypotheses

Ref	Expression
hbco.1	|- (y e. A -> A.x y e. A)
hbco.2	|- (y e. B -> A.x y e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbco	|- (y e. (A o. B) -> A.x y e. (A o. B))

Distinct variable group(s):   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 925	. . . . . 6 |- (y e. z -> A.x y e. z)
2		hbco.2	. . . . . 6 |- (y e. B -> A.x y e. B)
3		ax-17 925	. . . . . 6 |- (y e. v -> A.x y e. v)
4	1, 2, 3	hbbr 2095	. . . . 5 |- (zBv -> A.x zBv)
5		hbco.1	. . . . . 6 |- (y e. A -> A.x y e. A)
6		ax-17 925	. . . . . 6 |- (y e. w -> A.x y e. w)
7	3, 5, 6	hbbr 2095	. . . . 5 |- (vAw -> A.x vAw)
8	4, 7	hban 704	. . . 4 |- ((zBv /\ vAw) -> A.x(zBv /\ vAw))
9	8	hbex 701	. . 3 |- (E.v(zBv /\ vAw) -> A.xE.v(zBv /\ vAw))
10	9	hbopab 2111	. 2 |- (y e. {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)} -> A.x y e. {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)})
11		df-co 2427	. . 3 |- (A o. B) = {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)}
12	11	eleq2i 1153	. 2 |- (y e. (A o. B) <-> y e. {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)})
13	12	bial 695	. 2 |- (A.x y e. (A o. B) <-> A.x y e. {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)})
14	10, 12, 13	3imtr4 192	1 |- (y e. (A o. B) -> A.x y e. (A o. B))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   e. wel 803   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  {copab 2055   o. ccom 2414

This theorem is referenced by:  hbfun 2684  ac6lem 3575

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-co 2427

metamath.org