Theorem hbima 2609

Description: Bound-variable hypothesis builder for image.

Hypotheses

Ref	Expression
hbima.1	|- (y e. A -> A.x y e. A)
hbima.2	|- (y e. B -> A.x y e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbima	|- (y e. (A"B) -> A.x y e. (A"B))

Distinct variable group(s):   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 925	. . . . 5 |- (w e. z -> A.x w e. z)
2		hbima.2	. . . . 5 |- (y e. B -> A.x y e. B)
3	1, 2	hbel 1172	. . . 4 |- (z e. B -> A.x z e. B)
4		ax-17 925	. . . . . 6 |- (w e. y -> A.x w e. y)
5	1, 4	hbop 1879	. . . . 5 |- (w e. <.z, y>. -> A.x w e. <.z, y>.)
6		hbima.1	. . . . 5 |- (y e. A -> A.x y e. A)
7	5, 6	hbel 1172	. . . 4 |- (<.z, y>. e. A -> A.x<.z, y>. e. A)
8	3, 7	hban 704	. . 3 |- ((z e. B /\ <.z, y>. e. A) -> A.x(z e. B /\ <.z, y>. e. A))
9	8	hbex 701	. 2 |- (E.z(z e. B /\ <.z, y>. e. A) -> A.xE.z(z e. B /\ <.z, y>. e. A))
10		visset 1350	. . 3 |- y e. V
11	10	elima3 2608	. 2 |- (y e. (A"B) <-> E.z(z e. B /\ <.z, y>. e. A))
12	11	bial 695	. 2 |- (A.x y e. (A"B) <-> A.xE.z(z e. B /\ <.z, y>. e. A))
13	9, 11, 12	3imtr4 192	1 |- (y e. (A"B) -> A.x y e. (A"B))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   e. wel 803   e. wcel 1092  <.cop 1810  "cima 2413

This theorem is referenced by:  hbfv 2837

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431

metamath.org