Theorem hbiso 2930

Description: Bound-variable hypothesis builder for an isomorphism.

Hypotheses

Ref	Expression
hbiso.1	|- (y e. H -> A.x y e. H)
hbiso.2	|- (y e. R -> A.x y e. R)
hbiso.3	|- (y e. S -> A.x y e. S)
hbiso.4	|- (y e. A -> A.x y e. A)
hbiso.5	|- (y e. B -> A.x y e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbiso	|- (H Isom R, S (A, B) -> A.x H Isom R, S (A, B))

Distinct variable group(s):   y,H   y,R   y,S   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbiso.1	. . . 4 |- (y e. H -> A.x y e. H)
2		hbiso.4	. . . 4 |- (y e. A -> A.x y e. A)
3		hbiso.5	. . . 4 |- (y e. B -> A.x y e. B)
4	1, 2, 3	hbf1o 2798	. . 3 |- (H:A-1-1-onto->B -> A.x H:A-1-1-onto->B)
5		ax-17 925	. . . . 5 |- (y e. z -> A.x y e. z)
6	5, 2	hbel 1172	. . . 4 |- (z e. A -> A.x z e. A)
7		ax-17 925	. . . . . 6 |- (y e. w -> A.x y e. w)
8	7, 2	hbel 1172	. . . . 5 |- (w e. A -> A.x w e. A)
9		hbiso.2	. . . . . . 7 |- (y e. R -> A.x y e. R)
10	5, 9, 7	hbbr 2095	. . . . . 6 |- (zRw -> A.x zRw)
11	1, 5	hbfv 2837	. . . . . . 7 |- (y e. (H` z) -> A.x y e. (H` z))
12		hbiso.3	. . . . . . 7 |- (y e. S -> A.x y e. S)
13	1, 7	hbfv 2837	. . . . . . 7 |- (y e. (H` w) -> A.x y e. (H` w))
14	11, 12, 13	hbbr 2095	. . . . . 6 |- ((H` z)S(H` w) -> A.x(H` z)S(H` w))
15	10, 14	hbbi 705	. . . . 5 |- ((zRw <-> (H` z)S(H` w)) -> A.x(zRw <-> (H` z)S(H` w)))
16	8, 15	hbral 1236	. . . 4 |- (A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)) -> A.xA.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)))
17	6, 16	hbral 1236	. . 3 |- (A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)) -> A.xA.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)))
18	4, 17	hban 704	. 2 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) -> A.x(H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))))
19		df-iso 2439	. 2 |- (H Isom R, S (A, B) <-> (H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))))
20	19	bial 695	. 2 |- (A.x H Isom R, S (A, B) <-> A.x(H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))))
21	18, 19, 20	3imtr4 192	1 |- (H Isom R, S (A, B) -> A.x H Isom R, S (A, B))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672   e. wel 803   e. wcel 1092  A.wral 1201   class class class wbr 2054  -1-1-onto->wf1o 2421  ` cfv 2422   Isom wiso 2423

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-iso 2439

metamath.org