Theorem hbxp 2444

Description: Bound-variable hypothesis builder for cross product.

Hypotheses

Ref	Expression
hbxp.1	|- (y e. A -> A.x y e. A)
hbxp.2	|- (y e. B -> A.x y e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbxp	|- (y e. (A X. B) -> A.x y e. (A X. B))

Distinct variable group(s):   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 925	. . . . 5 |- (y = <.z, w>. -> A.x y = <.z, w>.)
2		ax-17 925	. . . . . . 7 |- (y e. z -> A.x y e. z)
3		hbxp.1	. . . . . . 7 |- (y e. A -> A.x y e. A)
4	2, 3	hbel 1172	. . . . . 6 |- (z e. A -> A.x z e. A)
5		ax-17 925	. . . . . . 7 |- (y e. w -> A.x y e. w)
6		hbxp.2	. . . . . . 7 |- (y e. B -> A.x y e. B)
7	5, 6	hbel 1172	. . . . . 6 |- (w e. B -> A.x w e. B)
8	4, 7	hban 704	. . . . 5 |- ((z e. A /\ w e. B) -> A.x(z e. A /\ w e. B))
9	1, 8	hban 704	. . . 4 |- ((y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) -> A.x(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
10	9	hbex 701	. . 3 |- (E.w(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) -> A.xE.w(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
11	10	hbex 701	. 2 |- (E.zE.w(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) -> A.xE.zE.w(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
12		elxp 2442	. 2 |- (y e. (A X. B) <-> E.zE.w(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
13	12	bial 695	. 2 |- (A.x y e. (A X. B) <-> A.xE.zE.w(y = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
14	11, 12, 13	3imtr4 192	1 |- (y e. (A X. B) -> A.x y e. (A X. B))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810   X. cxp 2408

This theorem is referenced by:  hbres 2577

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424

metamath.org