Theorem hlim2 5112

Description: The limit of a sequence on a Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
hlim2	|- ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) -> (F ~~>v A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,F   x,A,y,z

Proof of Theorem hlim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 2748	. . . . . 6 |- (f = F -> (f:NN-->H~ <-> F:NN-->H~))
2	1	anbi1d 469	. . . . 5 |- (f = F -> ((f:NN-->H~ /\ w e. H~) <-> (F:NN-->H~ /\ w e. H~)))
3		fveq1 2831	. . . . . . . . . . . . 13 |- (f = F -> (f` z) = (F` z))
4	3	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = F -> ((f` z) -v w) = ((F` z) -v w))
5	4	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . 11 |- (f = F -> (norm` ((f` z) -v w)) = (norm` ((F` z) -v w)))
6	5	breq1d 2071	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> ((norm` ((f` z) -v w)) < x <-> (norm` ((F` z) -v w)) < x))
7	6	imbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- (f = F -> ((y <_ z -> (norm` ((f` z) -v w)) < x) <-> (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v w)) < x)))
8	7	biraldv 1219	. . . . . . . 8 |- (f = F -> (A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((f` z) -v w)) < x) <-> A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v w)) < x)))
9	8	birexdv 1220	. . . . . . 7 |- (f = F -> (E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((f` z) -v w)) < x) <-> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v w)) < x)))
10	9	imbi2d 464	. . . . . 6 |- (f = F -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((f` z) -v w)) < x)) <-> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v w)) < x))))
11	10	biraldv 1219	. . . . 5 |- (f = F -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((f` z) -v w)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v w)) < x))))
12	2, 11	anbi12d 476	. . . 4 |- (f = F -> (((f:NN-->H~ /\ w e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((f` z) -v w)) < x))) <-> ((F:NN-->H~ /\ w e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v w)) < x)))))
13		eleq1 1149	. . . . . 6 |- (w = A -> (w e. H~ <-> A e. H~))
14	13	anbi2d 468	. . . . 5 |- (w = A -> ((F:NN-->H~ /\ w e. H~) <-> (F:NN-->H~ /\ A e. H~)))
15		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = A -> ((F` z) -v w) = ((F` z) -v A))
16	15	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . 11 |- (w = A -> (norm` ((F` z) -v w)) = (norm` ((F` z) -v A)))
17	16	breq1d 2071	. . . . . . . . . 10 |- (w = A -> ((norm` ((F` z) -v w)) < x <-> (norm` ((F` z) -v A)) < x))
18	17	imbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- (w = A -> ((y <_ z -> (norm` ((F` z) -v w)) < x) <-> (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x)))
19	18	biraldv 1219	. . . . . . . 8 |- (w = A -> (A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v w)) < x) <-> A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x)))
20	19	birexdv 1220	. . . . . . 7 |- (w = A -> (E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v w)) < x) <-> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x)))
21	20	imbi2d 464	. . . . . 6 |- (w = A -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v w)) < x)) <-> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x))))
22	21	biraldv 1219	. . . . 5 |- (w = A -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v w)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x))))
23	14, 22	anbi12d 476	. . . 4 |- (w = A -> (((F:NN-->H~ /\ w e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v w)) < x))) <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x)))))
24		df-hlim 5107	. . . 4 |- ~~>v = {<.f, w>. | ((f:NN-->H~ /\ w e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((f` z) -v w)) < x)))}
25	12, 23, 24	brabg 2116	. . 3 |- ((F e. V /\ A e. H~) -> (F ~~>v A <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x)))))
26		ffn 2752	. . . 4 |- (F:NN-->H~ -> F Fn NN)
27		nnex 4431	. . . . 5 |- NN e. V
28		fnex 2740	. . . . 5 |- (NN e. V -> (F Fn NN -> F e. V))
29	27, 28	ax-mp 6	. . . 4 |- (F Fn NN -> F e. V)
30	26, 29	syl 12	. . 3 |- (F:NN-->H~ -> F e. V)
31	25, 30	sylan 343	. 2 |- ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) -> (F ~~>v A <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x)))))
32		ibar 487	. 2 |- ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x)) <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x)))))
33	31, 32	bitr4d 409	1 |- ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) -> (F ~~>v A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x))))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   Fn wfn 2417  -->wf 2418  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  RRcr 4027  0cc0 4028   < clt 4033   <_ cle 4092  NNcn 4093  H~chil 4958   -v cmv 4962  normcno 4964   ~~>v chli 4966

This theorem is referenced by:  hlimcaui 5141

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-0r 3965  df-1r 3966  df-c 4034  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-n 4423  df-hlim 5107

metamath.org