Theorem hlimconv 5111

Description: Convergence of a sequence on a Hilbert space.

Hypotheses

Ref	Expression
hlim.1	|- F e. V
hlim.2	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
hlimconv	|- (F ~~>v A -> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,F   x,A,y,z

Proof of Theorem hlimconv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlim.1	. . 3 |- F e. V
2		hlim.2	. . 3 |- A e. V
3	1, 2	hlim 5108	. 2 |- (F ~~>v A <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x))))
4	3	pm3.27bd 263	1 |- (F ~~>v A -> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (norm` ((F` z) -v A)) < x)))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  -->wf 2418  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  RRcr 4027  0cc0 4028   < clt 4033   <_ cle 4092  NNcn 4093  H~chil 4958   -v cmv 4962  normcno 4964   ~~>v chli 4966

This theorem is referenced by:  hlimunii 5143  projlem25 5217  osumlem4 5533

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-hlim 5107

metamath.org