Theorem hosdir 5609

Description: Distributive law for Hilbert space operator sum.

Hypotheses

Ref	Expression
hods.1	|- R:H~-->H~
hods.2	|- S:H~-->H~
hods.3	|- T:H~-->H~

Assertion

Ref	Expression
hosdir	|- ((R +P S) o. T) = ((R o. T) +P (S o. T))

Proof of Theorem hosdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hods.3	. . . . . . 7 |- T:H~-->H~
2	1	hocl 5594	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (T` x) e. H~)
3		hods.1	. . . . . . . 8 |- R:H~-->H~
4		hods.2	. . . . . . . 8 |- S:H~-->H~
5	3, 4	pm3.2i 234	. . . . . . 7 |- (R:H~-->H~ /\ S:H~-->H~)
6		hosvalt 5489	. . . . . . 7 |- (((R:H~-->H~ /\ S:H~-->H~) /\ (T` x) e. H~) -> ((R +P S)` (T` x)) = ((R` (T` x)) +v (S` (T` x))))
7	5, 6	mpan 518	. . . . . 6 |- ((T` x) e. H~ -> ((R +P S)` (T` x)) = ((R` (T` x)) +v (S` (T` x))))
8	2, 7	syl 12	. . . . 5 |- (x e. H~ -> ((R +P S)` (T` x)) = ((R` (T` x)) +v (S` (T` x))))
9	3, 1	hoco 5598	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> ((R o. T)` x) = (R` (T` x)))
10	4, 1	hoco 5598	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> ((S o. T)` x) = (S` (T` x)))
11	9, 10	opreq12d 3014	. . . . 5 |- (x e. H~ -> (((R o. T)` x) +v ((S o. T)` x)) = ((R` (T` x)) +v (S` (T` x))))
12	8, 11	eqtr4d 1131	. . . 4 |- (x e. H~ -> ((R +P S)` (T` x)) = (((R o. T)` x) +v ((S o. T)` x)))
13	3, 4	hosf 5602	. . . . 5 |- (R +P S):H~-->H~
14	13, 1	hoco 5598	. . . 4 |- (x e. H~ -> (((R +P S) o. T)` x) = ((R +P S)` (T` x)))
15	3, 1	hocof 5600	. . . . . 6 |- (R o. T):H~-->H~
16	4, 1	hocof 5600	. . . . . 6 |- (S o. T):H~-->H~
17	15, 16	pm3.2i 234	. . . . 5 |- ((R o. T):H~-->H~ /\ (S o. T):H~-->H~)
18		hosvalt 5489	. . . . 5 |- ((((R o. T):H~-->H~ /\ (S o. T):H~-->H~) /\ x e. H~) -> (((R o. T) +P (S o. T))` x) = (((R o. T)` x) +v ((S o. T)` x)))
19	17, 18	mpan 518	. . . 4 |- (x e. H~ -> (((R o. T) +P (S o. T))` x) = (((R o. T)` x) +v ((S o. T)` x)))
20	12, 14, 19	3eqtr4d 1134	. . 3 |- (x e. H~ -> (((R +P S) o. T)` x) = (((R o. T) +P (S o. T))` x))
21	20	rgen 1247	. 2 |- A.x e. H~ (((R +P S) o. T)` x) = (((R o. T) +P (S o. T))` x)
22	13, 1	hocof 5600	. . 3 |- ((R +P S) o. T):H~-->H~
23	15, 16	hosf 5602	. . 3 |- ((R o. T) +P (S o. T)):H~-->H~
24	22, 23	hoeq 5595	. 2 |- (A.x e. H~ (((R +P S) o. T)` x) = (((R o. T) +P (S o. T))` x) <-> ((R +P S) o. T) = ((R o. T) +P (S o. T)))
25	21, 24	mpbi 164	1 |- ((R +P S) o. T) = ((R o. T) +P (S o. T))

Syntax hints:   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201   o. ccom 2414  -->wf 2418  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  H~chil 4958   +v cva 4959   +P chos 4977

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-hosum 5485

metamath.org