Theorem hosvalt 5489

Description: Value of sum of two Hilbert space operators.

Assertion

Ref	Expression
hosvalt	|- (((S:H~-->H~ /\ T:H~-->H~) /\ A e. H~) -> ((S +P T)` A) = ((S` A) +v (T` A)))

Proof of Theorem hosvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hosmvalt 5487	. . 3 |- ((S:H~-->H~ /\ T:H~-->H~) -> (S +P T) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((S` x) +v (T` x)))})
2	1	fveq1d 2834	. 2 |- ((S:H~-->H~ /\ T:H~-->H~) -> ((S +P T)` A) = ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((S` x) +v (T` x)))}` A))
3		fveq2 2832	. . . 4 |- (x = A -> (S` x) = (S` A))
4		fveq2 2832	. . . 4 |- (x = A -> (T` x) = (T` A))
5	3, 4	opreq12d 3014	. . 3 |- (x = A -> ((S` x) +v (T` x)) = ((S` A) +v (T` A)))
6		cleqid 1102	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((S` x) +v (T` x)))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((S` x) +v (T` x)))}
7		oprex 3018	. . 3 |- ((S` A) +v (T` A)) e. V
8	5, 6, 7	fvopab4 2871	. 2 |- (A e. H~ -> ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((S` x) +v (T` x)))}` A) = ((S` A) +v (T` A)))
9	2, 8	sylan9eq 1144	1 |- (((S:H~-->H~ /\ T:H~-->H~) /\ A e. H~) -> ((S +P T)` A) = ((S` A) +v (T` A)))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  {copab 2055  -->wf 2418  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  H~chil 4958   +v cva 4959   +P chos 4977

This theorem is referenced by:  hosclt 5491  hoscom 5605  hods 5606  hosass 5607  hosdir 5609  hoid0 5614  pjsdi 5625  pjscj 5640  pjtot 5644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-hosum 5485

metamath.org