Theorem hvadd4 5030

Description: Hilbert vector space addition law.

Hypotheses

Ref	Expression
hvass.1	|- A e. H~
hvass.2	|- B e. H~
hvass.3	|- C e. H~
hvadd4.4	|- D e. H~

Assertion

Ref	Expression
hvadd4	|- ((A +v B) +v (C +v D)) = ((A +v C) +v (B +v D))

Proof of Theorem hvadd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvass.1	. . 3 |- A e. H~
2		hvass.2	. . 3 |- B e. H~
3	1, 2	pm3.2i 234	. 2 |- (A e. H~ /\ B e. H~)
4		hvass.3	. . 3 |- C e. H~
5		hvadd4.4	. . 3 |- D e. H~
6	4, 5	pm3.2i 234	. 2 |- (C e. H~ /\ D e. H~)
7		hvadd4t 5013	. 2 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((A +v B) +v (C +v D)) = ((A +v C) +v (B +v D)))
8	3, 6, 7	mp2an 520	1 |- ((A +v B) +v (C +v D)) = ((A +v C) +v (B +v D))

Syntax hints:   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  (class class class)co 3001  H~chil 4958   +v cva 4959

This theorem is referenced by:  hvsubsub4 5031  hvsubcan2 5036  pjadd 5566

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org