Theorem hvsubclt 4998

Description: Closure of vector subtraction.

Assertion

Ref	Expression
hvsubclt	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -v B) e. H~)

Proof of Theorem hvsubclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubvalt 4997	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -v B) = (A +v (-u1 .s B)))
2		ax-hvaddcl 4984	. . 3 |- ((A e. H~ /\ (-u1 .s B) e. H~) -> (A +v (-u1 .s B)) e. H~)
3		1cn 4101	. . . . 5 |- 1 e. CC
4	3	negcl 4142	. . . 4 |- -u1 e. CC
5		ax-hvmulcl 4989	. . . 4 |- ((-u1 e. CC /\ B e. H~) -> (-u1 .s B) e. H~)
6	4, 5	mpan 518	. . 3 |- (B e. H~ -> (-u1 .s B) e. H~)
7	2, 6	sylan2 346	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A +v (-u1 .s B)) e. H~)
8	1, 7	eqeltrd 1163	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -v B) e. H~)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092  (class class class)co 3001  CCcc 4026  1c1 4029  -ucneg 4090  H~chil 4958   +v cva 4959   .s csm 4960   -v cmv 4962

This theorem is referenced by:  hvsubcl 5002  hi2eqt 5059  hial2eqt 5060  chocuni 5179  occllem6 5185  projlem8 5200  projlem10 5202  projlem12 5204  projlem13 5205  projlem15 5207  projlem24 5216  projlem25 5217  projlem26 5218  projlem28 5220  hodclt 5492  osumlem2 5531  osumlem3 5532  osumlem4 5533  5oalem2 5545  5oalem3 5546  5oalem5 5548  3oalem2 5553  hodf 5603  pjclem4 5653  pj3s 5659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvmulcl 4989

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-sub 4133  df-neg 4135  df-hvsub 4996

metamath.org