Theorem ider 3208

Description: The identity relation is an equivalence relation.

Assertion

Ref	Expression
ider	|- Er I

Proof of Theorem ider

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 811	. . 3 |- (x = y -> y = x)
2		visset 1350	. . . 4 |- x e. V
3		visset 1350	. . . 4 |- y e. V
4	2, 3	ideq 2127	. . 3 |- (xIy <-> x = y)
5	3, 2	ideq 2127	. . 3 |- (yIx <-> y = x)
6	1, 4, 5	3imtr4 192	. 2 |- (xIy -> yIx)
7		cleqtr 1118	. . 3 |- ((x = y /\ y = z) -> x = z)
8		visset 1350	. . . . 5 |- z e. V
9	3, 8	ideq 2127	. . . 4 |- (yIz <-> y = z)
10	4, 9	anbi12i 369	. . 3 |- ((xIy /\ yIz) <-> (x = y /\ y = z))
11	2, 8	ideq 2127	. . 3 |- (xIz <-> x = z)
12	7, 10, 11	3imtr4 192	. 2 |- ((xIy /\ yIz) -> xIz)
13	6, 12	ster 3207	1 |- Er I

Syntax hints:   /\ wa 196   = weq 797   class class class wbr 2054  Icid 2057  Er wer 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-cnv 2426  df-co 2427  df-er 3200

metamath.org