Theorem iinss 2025

Description: Subset implication for an indexed intersection.

Assertion

Ref	Expression
iinss	|- (E.x e. A B (_ C -> |^|x e. A B (_ C)

Distinct variable group(s):   x,C   x,A

Proof of Theorem iinss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.12 729	. . . 4 |- (E.xA.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)) -> A.yE.x(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
2		df-rex 1206	. . . . 5 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. B -> y e. C)))
3		19.28v 957	. . . . . 6 |- (A.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)) <-> (x e. A /\ A.y(y e. B -> y e. C)))
4	3	biex 733	. . . . 5 |- (E.xA.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)) <-> E.x(x e. A /\ A.y(y e. B -> y e. C)))
5	2, 4	bitr4 154	. . . 4 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) <-> E.xA.y(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
6		df-rex 1206	. . . . 5 |- (E.x e. A (y e. B -> y e. C) <-> E.x(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
7	6	bial 695	. . . 4 |- (A.yE.x e. A (y e. B -> y e. C) <-> A.yE.x(x e. A /\ (y e. B -> y e. C)))
8	1, 5, 7	3imtr4 192	. . 3 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) -> A.yE.x e. A (y e. B -> y e. C))
9		r19.36av 1299	. . . . 5 |- (E.x e. A (y e. B -> y e. C) -> (A.x e. A y e. B -> y e. C))
10		visset 1350	. . . . . 6 |- y e. V
11		eliin 1999	. . . . . 6 |- (y e. V -> (y e. |^|x e. A B <-> A.x e. A y e. B))
12	10, 11	ax-mp 6	. . . . 5 |- (y e. |^|x e. A B <-> A.x e. A y e. B)
13	9, 12	syl5ib 181	. . . 4 |- (E.x e. A (y e. B -> y e. C) -> (y e. |^|x e. A B -> y e. C))
14	13	19.20i 691	. . 3 |- (A.yE.x e. A (y e. B -> y e. C) -> A.y(y e. |^|x e. A B -> y e. C))
15	8, 14	syl 12	. 2 |- (E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) -> A.y(y e. |^|x e. A B -> y e. C))
16		dfss2 1497	. . 3 |- (B (_ C <-> A.y(y e. B -> y e. C))
17	16	birex 1224	. 2 |- (E.x e. A B (_ C <-> E.x e. A A.y(y e. B -> y e. C))
18		dfss2 1497	. 2 |- (|^|x e. A B (_ C <-> A.y(y e. |^|x e. A B -> y e. C))
19	15, 17, 18	3imtr4 192	1 |- (E.x e. A B (_ C -> |^|x e. A B (_ C)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  Vcvv 1348   (_ wss 1487  |^|ciin 1995

This theorem is referenced by:  scott0 3542

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-iin 1997

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