Theorem iinuni 2036

Description: A relationship involving union and indexed intersection. Exercise 23 of [Enderton] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
iinuni	|- (A u. |^|B) = |^|x e. B (A u. x)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem iinuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.32v 1297	. . . 4 |- (A.x e. B (y e. A \/ y e. x) <-> (y e. A \/ A.x e. B y e. x))
2		elun 1601	. . . . 5 |- (y e. (A u. x) <-> (y e. A \/ y e. x))
3	2	biral 1223	. . . 4 |- (A.x e. B y e. (A u. x) <-> A.x e. B (y e. A \/ y e. x))
4		visset 1350	. . . . . 6 |- y e. V
5	4	elint2 1972	. . . . 5 |- (y e. |^|B <-> A.x e. B y e. x)
6	5	orbi2i 214	. . . 4 |- ((y e. A \/ y e. |^|B) <-> (y e. A \/ A.x e. B y e. x))
7	1, 3, 6	3bitr4r 159	. . 3 |- ((y e. A \/ y e. |^|B) <-> A.x e. B y e. (A u. x))
8		elun 1601	. . 3 |- (y e. (A u. |^|B) <-> (y e. A \/ y e. |^|B))
9		eliin 1999	. . . 4 |- (y e. V -> (y e. |^|x e. B (A u. x) <-> A.x e. B y e. (A u. x)))
10	4, 9	ax-mp 6	. . 3 |- (y e. |^|x e. B (A u. x) <-> A.x e. B y e. (A u. x))
11	7, 8, 10	3bitr4 158	. 2 |- (y e. (A u. |^|B) <-> y e. |^|x e. B (A u. x))
12	11	cleqri 1101	1 |- (A u. |^|B) = |^|x e. B (A u. x)

Syntax hints:   <-> wb 127   \/ wo 195   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  Vcvv 1348   u. cun 1485  |^|cint 1965  |^|ciin 1995

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-un 1490  df-int 1966  df-iin 1997

metamath.org