Theorem imaiun 2650

Description: The image of a union is the union of the images. Theorem 3K(a) of [Enderton] p. 50.

Assertion

Ref	Expression
imaiun	|- (A"U.B) = U.x e. B (A"x)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem imaiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 1922	. . . . . 6 |- (z e. U.B <-> E.x(z e. x /\ x e. B))
2	1	anbi1i 368	. . . . 5 |- ((z e. U.B /\ <.z, y>. e. A) <-> (E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A))
3	2	biex 733	. . . 4 |- (E.z(z e. U.B /\ <.z, y>. e. A) <-> E.z(E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A))
4		19.41v 963	. . . . . . 7 |- (E.x((z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> (E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A))
5		anass 336	. . . . . . . . 9 |- (((z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> (z e. x /\ (x e. B /\ <.z, y>. e. A)))
6		an12 370	. . . . . . . . 9 |- ((z e. x /\ (x e. B /\ <.z, y>. e. A)) <-> (x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
7	5, 6	bitr 151	. . . . . . . 8 |- (((z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> (x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
8	7	biex 733	. . . . . . 7 |- (E.x((z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
9	4, 8	bitr3 153	. . . . . 6 |- ((E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
10	9	biex 733	. . . . 5 |- (E.z(E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> E.zE.x(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
11		excom 728	. . . . 5 |- (E.zE.x(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)) <-> E.xE.z(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
12		exdistr 967	. . . . 5 |- (E.xE.z(x e. B /\ (z e. x /\ <.z, y>. e. A)) <-> E.x(x e. B /\ E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
13	10, 11, 12	3bitr 155	. . . 4 |- (E.z(E.x(z e. x /\ x e. B) /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x(x e. B /\ E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
14		visset 1350	. . . . . . 7 |- y e. V
15	14	elima3 2608	. . . . . 6 |- (y e. (A"x) <-> E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A))
16	15	birex 1224	. . . . 5 |- (E.x e. B y e. (A"x) <-> E.x e. B E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A))
17		df-rex 1206	. . . . 5 |- (E.x e. B E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x(x e. B /\ E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A)))
18	16, 17	bitr2 152	. . . 4 |- (E.x(x e. B /\ E.z(z e. x /\ <.z, y>. e. A)) <-> E.x e. B y e. (A"x))
19	3, 13, 18	3bitr 155	. . 3 |- (E.z(z e. U.B /\ <.z, y>. e. A) <-> E.x e. B y e. (A"x))
20	14	elima3 2608	. . 3 |- (y e. (A"U.B) <-> E.z(z e. U.B /\ <.z, y>. e. A))
21		eliun 1998	. . 3 |- (y e. U.x e. B (A"x) <-> E.x e. B y e. (A"x))
22	19, 20, 21	3bitr4 158	. 2 |- (y e. (A"U.B) <-> y e. U.x e. B (A"x))
23	22	cleqri 1101	1 |- (A"U.B) = U.x e. B (A"x)

Syntax hints:   /\ wa 196  E.wex 678   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  <.cop 1810  U.cuni 1919  U.ciun 1994  "cima 2413

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431

metamath.org