Theorem imasn 2616

Description: Image of a singleton.

Assertion

Ref	Expression
imasn	|- (Rel R -> (R"{A}) = {y | <.A, y>. e. R})

Distinct variable group(s):   y,A   y,R

Proof of Theorem imasn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 1838	. . . . . . 7 |- (-. A e. V <-> {A} = (/))
2		imaeq2 2603	. . . . . . 7 |- ({A} = (/) -> (R"{A}) = (R"(/)))
3	1, 2	sylbi 174	. . . . . 6 |- (-. A e. V -> (R"{A}) = (R"(/)))
4		ima0 2615	. . . . . 6 |- (R"(/)) = (/)
5	3, 4	syl6eq 1140	. . . . 5 |- (-. A e. V -> (R"{A}) = (/))
6	5	adantl 305	. . . 4 |- ((Rel R /\ -. A e. V) -> (R"{A}) = (/))
7		df-rel 2425	. . . . . . . . . 10 |- (Rel R <-> R (_ (V X. V))
8		ssel 1502	. . . . . . . . . 10 |- (R (_ (V X. V) -> (<.A, y>. e. R -> <.A, y>. e. (V X. V)))
9	7, 8	sylbi 174	. . . . . . . . 9 |- (Rel R -> (<.A, y>. e. R -> <.A, y>. e. (V X. V)))
10		opelxpex 2445	. . . . . . . . 9 |- (<.A, y>. e. (V X. V) -> A e. V)
11	9, 10	syl6 23	. . . . . . . 8 |- (Rel R -> (<.A, y>. e. R -> A e. V))
12	11	con3d 87	. . . . . . 7 |- (Rel R -> (-. A e. V -> -. <.A, y>. e. R))
13	12	imp 277	. . . . . 6 |- ((Rel R /\ -. A e. V) -> -. <.A, y>. e. R)
14	13	nexdv 983	. . . . 5 |- ((Rel R /\ -. A e. V) -> -. E.y<.A, y>. e. R)
15		abn0 1715	. . . . . 6 |- (-. {y | <.A, y>. e. R} = (/) <-> E.y<.A, y>. e. R)
16	15	bicon1i 193	. . . . 5 |- (-. E.y<.A, y>. e. R <-> {y | <.A, y>. e. R} = (/))
17	14, 16	sylib 173	. . . 4 |- ((Rel R /\ -. A e. V) -> {y | <.A, y>. e. R} = (/))
18	6, 17	eqtr4d 1131	. . 3 |- ((Rel R /\ -. A e. V) -> (R"{A}) = {y | <.A, y>. e. R})
19	18	exp 291	. 2 |- (Rel R -> (-. A e. V -> (R"{A}) = {y | <.A, y>. e. R}))
20		opeq1 1876	. . . . . . 7 |- (x = A -> <.x, y>. = <.A, y>.)
21	20	eleq1d 1155	. . . . . 6 |- (x = A -> (<.x, y>. e. R <-> <.A, y>. e. R))
22	21	ceqsexgv 1412	. . . . 5 |- (A e. V -> (E.x(x = A /\ <.x, y>. e. R) <-> <.A, y>. e. R))
23		elsn 1820	. . . . . . 7 |- (x e. {A} <-> x = A)
24	23	anbi1i 368	. . . . . 6 |- ((x e. {A} /\ <.x, y>. e. R) <-> (x = A /\ <.x, y>. e. R))
25	24	biex 733	. . . . 5 |- (E.x(x e. {A} /\ <.x, y>. e. R) <-> E.x(x = A /\ <.x, y>. e. R))
26	22, 25	syl5bb 410	. . . 4 |- (A e. V -> (E.x(x e. {A} /\ <.x, y>. e. R) <-> <.A, y>. e. R))
27	26	biabdv 1183	. . 3 |- (A e. V -> {y | E.x(x e. {A} /\ <.x, y>. e. R)} = {y | <.A, y>. e. R})
28		dfima3 2605	. . 3 |- (R"{A}) = {y | E.x(x e. {A} /\ <.x, y>. e. R)}
29	27, 28	syl5eq 1136	. 2 |- (A e. V -> (R"{A}) = {y | <.A, y>. e. R})
30	19, 29	pm2.61d2 111	1 |- (Rel R -> (R"{A}) = {y | <.A, y>. e. R})

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196  E.wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   (_ wss 1487  (/)c0 1707  {csn 1808  <.cop 1810   X. cxp 2408  "cima 2413  Rel wrel 2415

This theorem is referenced by:  fnsnfv 2861  funfv2 2863  mapsn 3269  aceq3 3556

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431

metamath.org