Theorem inf3lem6 3469

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 3471 for detailed description.

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	|- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
inf3lem.2	|- F = (rec(G, (/)) |` om)
inf3lem.3	|- A e. V
inf3lem.4	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem6	|- ((-. x = (/) /\ x (_ U.x) -> F:om-1-1->P~x)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w

Proof of Theorem inf3lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = {<.y, z>. | z = {w e. x | (w i^i x) (_ y}}
2		inf3lem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = (rec(G, (/)) |` om)
3		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- u e. V
4		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- v e. V
5	1, 2, 3, 4	inf3lem5 3468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. x = (/) /\ x (_ U.x) -> ((u e. om /\ v e. u) -> (F` v) (. (F` u)))
6		dfpss2 1557	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F` v) (. (F` u) <-> ((F` v) (_ (F` u) /\ -. (F` v) = (F` u)))
7	6	pm3.27bd 263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` v) (. (F` u) -> -. (F` v) = (F` u))
8	5, 7	syl6 23	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. x = (/) /\ x (_ U.x) -> ((u e. om /\ v e. u) -> -. (F` v) = (F` u)))
9	8	exp3a 292	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. x = (/) /\ x (_ U.x) -> (u e. om -> (v e. u -> -. (F` v) = (F` u))))
10	9	imp 277	. . . . . . . . . 10 |- (((-. x = (/) /\ x (_ U.x) /\ u e. om) -> (v e. u -> -. (F` v) = (F` u)))
11	10	adantrl 311	. . . . . . . . 9 |- (((-. x = (/) /\ x (_ U.x) /\ (v e. om /\ u e. om)) -> (v e. u -> -. (F` v) = (F` u)))
12	1, 2, 4, 3	inf3lem5 3468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. x = (/) /\ x (_ U.x) -> ((v e. om /\ u e. v) -> (F` u) (. (F` v)))
13		dfpss2 1557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` u) (. (F` v) <-> ((F` u) (_ (F` v) /\ -. (F` u) = (F` v)))
14	13	pm3.27bd 263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F` u) (. (F` v) -> -. (F` u) = (F` v))
15		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` u) = (F` v) <-> (F` v) = (F` u))
16	15	negbii 162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. (F` u) = (F` v) <-> -. (F` v) = (F` u))
17	14, 16	sylib 173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` u) (. (F` v) -> -. (F` v) = (F` u))
18	12, 17	syl6 23	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. x = (/) /\ x (_ U.x) -> ((v e. om /\ u e. v) -> -. (F` v) = (F` u)))
19	18	exp3a 292	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. x = (/) /\ x (_ U.x) -> (v e. om -> (u e. v -> -. (F` v) = (F` u))))
20	19	imp 277	. . . . . . . . . 10 |- (((-. x = (/) /\ x (_ U.x) /\ v e. om) -> (u e. v -> -. (F` v) = (F` u)))
21	20	adantrr 312	. . . . . . . . 9 |- (((-. x = (/) /\ x (_ U.x) /\ (v e. om /\ u e. om)) -> (u e. v -> -. (F` v) = (F` u)))
22	11, 21	jaod 329	. . . . . . . 8 |- (((-. x = (/) /\ x (_ U.x) /\ (v e. om /\ u e. om)) -> ((v e. u \/ u e. v) -> -. (F` v) = (F` u)))
23	22	con2d 83	. . . . . . 7 |- (((-. x = (/) /\ x (_ U.x) /\ (v e. om /\ u e. om)) -> ((F` v) = (F` u) -> -. (v e. u \/ u e. v)))
24		ordtri3 2234	. . . . . . . . 9 |- ((Ord v /\ Ord u) -> (v = u <-> -. (v e. u \/ u e. v)))
25		nnord 2381	. . . . . . . . 9 |- (v e. om -> Ord v)
26		nnord 2381	. . . . . . . . 9 |- (u e. om -> Ord u)
27	24, 25, 26	syl2an 349	. . . . . . . 8 |- ((v e. om /\ u e. om) -> (v = u <-> -. (v e. u \/ u e. v)))
28	27	adantl 305	. . . . . . 7 |- (((-. x = (/) /\ x (_ U.x) /\ (v e. om /\ u e. om)) -> (v = u <-> -. (v e. u \/ u e. v)))
29	23, 28	sylibrd 179	. . . . . 6 |- (((-. x = (/) /\ x (_ U.x) /\ (v e. om /\ u e. om)) -> ((F` v) = (F` u) -> v = u))
30	29	exp 291	. . . . 5 |- ((-. x = (/) /\ x (_ U.x) -> ((v e. om /\ u e. om) -> ((F` v) = (F` u) -> v = u)))
31	30	19.21aivv 944	. . . 4 |- ((-. x = (/) /\ x (_ U.x) -> A.vA.u((v e. om /\ u e. om) -> ((F` v) = (F` u) -> v = u)))
32		r2al 1231	. . . 4 |- (A.v e. om A.u e. om ((F` v) = (F` u) -> v = u) <-> A.vA.u((v e. om /\ u e. om) -> ((F` v) = (F` u) -> v = u)))
33	31, 32	sylibr 175	. . 3 |- ((-. x = (/) /\ x (_ U.x) -> A.v e. om A.u e. om ((F` v) = (F` u) -> v = u))
34		frfnom 2989	. . . . . . 7 |- (rec(G, (/)) |` om) Fn om
35		fneq1 2718	. . . . . . 7 |- (F = (rec(G, (/)) |` om) -> (F Fn om <-> (rec(G, (/)) |` om) Fn om))
36	34, 35	mpbiri 169	. . . . . 6 |- (F = (rec(G, (/)) |` om) -> F Fn om)
37	2, 36	ax-mp 6	. . . . 5 |- F Fn om
38		fvelrn 2883	. . . . . . . 8 |- (F Fn om -> (u e. ran F <-> E.v e. om (F` v) = u))
39		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 |- ((F` v) = u -> ((F` v) e. P~x <-> u e. P~x))
40		inf3lem.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. V
41	1, 2, 4, 40	inf3lemd 3463	. . . . . . . . . . . 12 |- (v e. om -> (F` v) (_ x)
42		fvex 2838	. . . . . . . . . . . . 13 |- (F` v) e. V
43	42	elpw 1801	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F` v) e. P~x <-> (F` v) (_ x)
44	41, 43	sylibr 175	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. om -> (F` v) e. P~x)
45	39, 44	syl5bi 183	. . . . . . . . . 10 |- ((F` v) = u -> (v e. om -> u e. P~x))
46	45	com12 13	. . . . . . . . 9 |- (v e. om -> ((F` v) = u -> u e. P~x))
47	46	r19.23aiv 1284	. . . . . . . 8 |- (E.v e. om (F` v) = u -> u e. P~x)
48	38, 47	syl6bi 187	. . . . . . 7 |- (F Fn om -> (u e. ran F -> u e. P~x))
49	48	ssrdv 1509	. . . . . 6 |- (F Fn om -> ran F (_ P~x)
50	49	ancli 244	. . . . 5 |- (F Fn om -> (F Fn om /\ ran F (_ P~x))
51	37, 50	ax-mp 6	. . . 4 |- (F Fn om /\ ran F (_ P~x)
52		df-f 2434	. . . 4 |- (F:om-->P~x <-> (F Fn om /\ ran F (_ P~x))
53	51, 52	mpbir 165	. . 3 |- F:om-->P~x
54	33, 53	jctil 240	. 2 |- ((-. x = (/) /\ x (_ U.x) -> (F:om-->P~x /\ A.v e. om A.u e. om ((F` v) = (F` u) -> v = u)))
55		f1fv 2916	. 2 |- (F:om-1-1->P~x <-> (F:om-->P~x /\ A.v e. om A.u e. om ((F` v) = (F` u) -> v = u)))
56	54, 55	sylibr 175	1 |- ((-. x = (/) /\ x (_ U.x) -> F:om-1-1->P~x)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196  A.wal 672   = weq 797   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  {crab 1204  Vcvv 1348   i^i cin 1486   (_ wss 1487   (. wpss 1488  (/)c0 1707  P~cpw 1798  U.cuni 1919  {copab 2055  Ord word 2198  omcom 2372  ran crn 2411   |` cres 2412   Fn wfn 2417  -->wf 2418  -1-1->wf1 2419  ` cfv 2422  reccrdg 2969

This theorem is referenced by:  inf3lem7 3470

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970

metamath.org