Theorem inf4 3473

Description: A standard version of axiom of infinity, expanded to primitives. In English, it says: there exists a set that contains the empty set and the successors of all of its members. See zfinf 3474 to see it converted to abbreviations.

Assertion

Ref	Expression
inf4	|- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w

Proof of Theorem inf4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 2390	. . 3 |- (/) e. om
2		peano2 2391	. . . 4 |- (y e. om -> suc y e. om)
3	2	ax-gen 677	. . 3 |- A.y(y e. om -> suc y e. om)
4		axinf 1084	. . . . . 6 |- E.x(y e. x /\ A.y(y e. x -> E.z(y e. z /\ z e. x)))
5	4	inf2 3459	. . . . 5 |- E.x(-. x = (/) /\ x (_ U.x)
6	5	inf3 3471	. . . 4 |- om e. V
7		eleq2 1150	. . . . 5 |- (x = om -> ((/) e. x <-> (/) e. om))
8		eleq2 1150	. . . . . . 7 |- (x = om -> (y e. x <-> y e. om))
9		eleq2 1150	. . . . . . 7 |- (x = om -> (suc y e. x <-> suc y e. om))
10	8, 9	imbi12d 474	. . . . . 6 |- (x = om -> ((y e. x -> suc y e. x) <-> (y e. om -> suc y e. om)))
11	10	bialdv 935	. . . . 5 |- (x = om -> (A.y(y e. x -> suc y e. x) <-> A.y(y e. om -> suc y e. om)))
12	7, 11	anbi12d 476	. . . 4 |- (x = om -> (((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> ((/) e. om /\ A.y(y e. om -> suc y e. om))))
13	6, 12	cla4ev 1401	. . 3 |- (((/) e. om /\ A.y(y e. om -> suc y e. om)) -> E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)))
14	1, 3, 13	mp2an 520	. 2 |- E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x))
15		0el 1720	. . . . 5 |- ((/) e. x <-> E.y e. x A.z -. z e. y)
16		df-rex 1206	. . . . 5 |- (E.y e. x A.z -. z e. y <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
17	15, 16	bitr 151	. . . 4 |- ((/) e. x <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
18		sucel 2296	. . . . . . 7 |- (suc y e. x <-> E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))
19		df-rex 1206	. . . . . . 7 |- (E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)) <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
20	18, 19	bitr 151	. . . . . 6 |- (suc y e. x <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
21	20	imbi2i 160	. . . . 5 |- ((y e. x -> suc y e. x) <-> (y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
22	21	bial 695	. . . 4 |- (A.y(y e. x -> suc y e. x) <-> A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
23	17, 22	anbi12i 369	. . 3 |- (((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> (E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
24	23	biex 733	. 2 |- (E.x((/) e. x /\ A.y(y e. x -> suc y e. x)) <-> E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
25	14, 24	mpbi 164	1 |- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  (/)c0 1707  suc csuc 2201  omcom 2372

This theorem is referenced by:  zfinf 3474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970

metamath.org