Theorem infunabs 4946

Description: An infinite set is equinumerous to its union with a smaller one.

Hypotheses

Ref	Expression
infunabs.1	|- A e. V
infunabs.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
infunabs	|- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A u. B) ~~ A)

Proof of Theorem infunabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 3326	. . . . . . . 8 |- (((A +c B) ~<_ (A X. A) /\ (A X. A) ~~ A) -> (A +c B) ~<_ A)
2		domtr 3320	. . . . . . . . 9 |- (((A +c B) ~<_ (A X. 2o) /\ (A X. 2o) ~<_ (A X. A)) -> (A +c B) ~<_ (A X. A))
3		infunabs.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. V
4		infunabs.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. V
5	3, 4, 4	cdadom2 3728	. . . . . . . . . 10 |- (B ~<_ A -> (A +c B) ~<_ (A +c A))
6	4	xp2cda 3723	. . . . . . . . . . 11 |- (A X. 2o) = (A +c A)
7	6	cleqcomi 1105	. . . . . . . . . 10 |- (A +c A) = (A X. 2o)
8	5, 7	syl6breq 2093	. . . . . . . . 9 |- (B ~<_ A -> (A +c B) ~<_ (A X. 2o))
9		2onn 3194	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. om
10		omsdomnn 3424	. . . . . . . . . . . . 13 |- (2o e. om -> (2o ~<_ om /\ -. om ~~ 2o))
11	9, 10	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . 12 |- (2o ~<_ om /\ -. om ~~ 2o)
12	11	pm3.26i 257	. . . . . . . . . . 11 |- 2o ~<_ om
13		domtr 3320	. . . . . . . . . . 11 |- ((2o ~<_ om /\ om ~<_ A) -> 2o ~<_ A)
14	12, 13	mpan 518	. . . . . . . . . 10 |- (om ~<_ A -> 2o ~<_ A)
15		2o 3110	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. On
16	15	elisseti 1355	. . . . . . . . . . 11 |- 2o e. V
17	16, 4, 4	xpdom2 3345	. . . . . . . . . 10 |- (2o ~<_ A -> (A X. 2o) ~<_ (A X. A))
18	14, 17	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (om ~<_ A -> (A X. 2o) ~<_ (A X. A))
19	2, 8, 18	syl2an 349	. . . . . . . 8 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A +c B) ~<_ (A X. A))
20	4	infxpidm 4945	. . . . . . . . 9 |- (om ~<_ A -> (A X. A) ~~ A)
21	20	adantl 305	. . . . . . . 8 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A X. A) ~~ A)
22	1, 19, 21	sylanc 361	. . . . . . 7 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A +c B) ~<_ A)
23	4, 3	cdadom3 3729	. . . . . . 7 |- A ~<_ (A +c B)
24	22, 23	jctir 241	. . . . . 6 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> ((A +c B) ~<_ A /\ A ~<_ (A +c B)))
25		sbth 3359	. . . . . 6 |- (((A +c B) ~<_ A /\ A ~<_ (A +c B)) -> (A +c B) ~~ A)
26	24, 25	syl 12	. . . . 5 |- ((B ~<_ A /\ om ~<_ A) -> (A +c B) ~~ A)
27	26	ancoms 334	. . . 4 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A +c B) ~~ A)
28	4, 3	uncdadom 3718	. . . . 5 |- (A u. B) ~<_ (A +c B)
29		domentr 3326	. . . . 5 |- (((A u. B) ~<_ (A +c B) /\ (A +c B) ~~ A) -> (A u. B) ~<_ A)
30	28, 29	mpan 518	. . . 4 |- ((A +c B) ~~ A -> (A u. B) ~<_ A)
31	27, 30	syl 12	. . 3 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A u. B) ~<_ A)
32		ssun1 1621	. . . 4 |- A (_ (A u. B)
33		ssdomg 3311	. . . 4 |- (A e. V -> (A (_ (A u. B) -> A ~<_ (A u. B)))
34	4, 32, 33	mp2 43	. . 3 |- A ~<_ (A u. B)
35	31, 34	jctir 241	. 2 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> ((A u. B) ~<_ A /\ A ~<_ (A u. B)))
36		sbth 3359	. 2 |- (((A u. B) ~<_ A /\ A ~<_ (A u. B)) -> (A u. B) ~~ A)
37	35, 36	syl 12	1 |- ((om ~<_ A /\ B ~<_ A) -> (A u. B) ~~ A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092  Vcvv 1348   u. cun 1485   (_ wss 1487   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  omcom 2372   X. cxp 2408  (class class class)co 3001  2oc2o 3100   ~~ cen 3271   ~<_ cdom 3272   +c ccda 3714

This theorem is referenced by:  infdif 4948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-iso 2439  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-2o 3105  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623  df-cda 3715  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org