Theorem intirr 2628

Description: Two ways of saying a relation is irreflexive. Definition of irreflexivity in [Schechter] p. 51.

Assertion

Ref	Expression
intirr	|- ((R i^i I) = (/) <-> A.x -. xRx)

Distinct variable group(s):   x,R

Proof of Theorem intirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 1658	. . . 4 |- (R i^i I) (_ I
2		reli 2500	. . . 4 |- Rel I
3		ssrel 2479	. . . 4 |- ((R i^i I) (_ I -> (Rel I -> Rel (R i^i I)))
4	1, 2, 3	mp2 43	. . 3 |- Rel (R i^i I)
5		rel0 2499	. . 3 |- Rel (/)
6		cleqrel 2483	. . 3 |- ((Rel (R i^i I) /\ Rel (/)) -> ((R i^i I) = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/))))
7	4, 5, 6	mp2an 520	. 2 |- ((R i^i I) = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)))
8		df-br 2063	. . . . . 6 |- (xRx <-> <.x, x>. e. R)
9		visset 1350	. . . . . . 7 |- x e. V
10		opeq2 1877	. . . . . . . 8 |- (y = x -> <.x, y>. = <.x, x>.)
11	10	eleq1d 1155	. . . . . . 7 |- (y = x -> (<.x, y>. e. R <-> <.x, x>. e. R))
12	9, 11	ceqsexv 1371	. . . . . 6 |- (E.y(y = x /\ <.x, y>. e. R) <-> <.x, x>. e. R)
13	8, 12	bitr4 154	. . . . 5 |- (xRx <-> E.y(y = x /\ <.x, y>. e. R))
14		noel 1711	. . . . . . . . 9 |- -. <.x, y>. e. (/)
15	14	nbn 542	. . . . . . . 8 |- (-. <.x, y>. e. (R i^i I) <-> (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)))
16	15	bicon1i 193	. . . . . . 7 |- (-. (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)) <-> <.x, y>. e. (R i^i I))
17		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
18	9, 17	ideq 2127	. . . . . . . . . 10 |- (xIy <-> x = y)
19		df-br 2063	. . . . . . . . . 10 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
20		cleqcom 1103	. . . . . . . . . 10 |- (x = y <-> y = x)
21	18, 19, 20	3bitr3r 157	. . . . . . . . 9 |- (y = x <-> <.x, y>. e. I)
22	21	anbi2i 367	. . . . . . . 8 |- ((<.x, y>. e. R /\ y = x) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. I))
23		ancom 333	. . . . . . . 8 |- ((y = x /\ <.x, y>. e. R) <-> (<.x, y>. e. R /\ y = x))
24		elin 1635	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. I))
25	22, 23, 24	3bitr4r 159	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> (y = x /\ <.x, y>. e. R))
26	16, 25	bitr2 152	. . . . . 6 |- ((y = x /\ <.x, y>. e. R) <-> -. (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)))
27	26	biex 733	. . . . 5 |- (E.y(y = x /\ <.x, y>. e. R) <-> E.y -. (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)))
28		exnal 721	. . . . 5 |- (E.y -. (<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)) <-> -. A.y(<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)))
29	13, 27, 28	3bitr 155	. . . 4 |- (xRx <-> -. A.y(<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)))
30	29	bicon2i 194	. . 3 |- (A.y(<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)) <-> -. xRx)
31	30	bial 695	. 2 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i I) <-> <.x, y>. e. (/)) <-> A.x -. xRx)
32	7, 31	bitr 151	1 |- ((R i^i I) = (/) <-> A.x -. xRx)

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092   i^i cin 1486   (_ wss 1487  (/)c0 1707  <.cop 1810   class class class wbr 2054  Icid 2057  Rel wrel 2415

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425

metamath.org