Theorem intss 1983

Description: Intersection of subclasses.

Assertion

Ref	Expression
intss	|- (A (_ B -> |^|B (_ |^|A)

Proof of Theorem intss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		syl2 17	. . . . 5 |- ((y e. A -> y e. B) -> ((y e. B -> x e. y) -> (y e. A -> x e. y)))
2	1	19.20ii 692	. . . 4 |- (A.y(y e. A -> y e. B) -> (A.y(y e. B -> x e. y) -> A.y(y e. A -> x e. y)))
3		visset 1350	. . . . 5 |- x e. V
4	3	elint 1971	. . . 4 |- (x e. |^|B <-> A.y(y e. B -> x e. y))
5	3	elint 1971	. . . 4 |- (x e. |^|A <-> A.y(y e. A -> x e. y))
6	2, 4, 5	3imtr4g 426	. . 3 |- (A.y(y e. A -> y e. B) -> (x e. |^|B -> x e. |^|A))
7	6	19.21aiv 943	. 2 |- (A.y(y e. A -> y e. B) -> A.x(x e. |^|B -> x e. |^|A))
8		dfss2 1497	. 2 |- (A (_ B <-> A.y(y e. A -> y e. B))
9		dfss2 1497	. 2 |- (|^|B (_ |^|A <-> A.x(x e. |^|B -> x e. |^|A))
10	7, 8, 9	3imtr4 192	1 |- (A (_ B -> |^|B (_ |^|A)

Syntax hints:   -> wi 2  A.wal 672   e. wel 803   e. wcel 1092   (_ wss 1487  |^|cint 1965

This theorem is referenced by:  rankval3 3525  rankr1id 3539  ranklon 3540  cfub 3703  cflim 3704  cflecard 3707  cfom 3710  hsupss 5310  spanss 5319

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-int 1966

metamath.org