Theorem intun 1989

Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of [Suppes] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
intun	|- |^|(A u. B) = (|^|A i^i |^|B)

Proof of Theorem intun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.26 749	. . . 4 |- (A.y((y e. A -> x e. y) /\ (y e. B -> x e. y)) <-> (A.y(y e. A -> x e. y) /\ A.y(y e. B -> x e. y)))
2		elun 1601	. . . . . . 7 |- (y e. (A u. B) <-> (y e. A \/ y e. B))
3	2	imbi1i 161	. . . . . 6 |- ((y e. (A u. B) -> x e. y) <-> ((y e. A \/ y e. B) -> x e. y))
4		jaob 328	. . . . . 6 |- (((y e. A \/ y e. B) -> x e. y) <-> ((y e. A -> x e. y) /\ (y e. B -> x e. y)))
5	3, 4	bitr 151	. . . . 5 |- ((y e. (A u. B) -> x e. y) <-> ((y e. A -> x e. y) /\ (y e. B -> x e. y)))
6	5	bial 695	. . . 4 |- (A.y(y e. (A u. B) -> x e. y) <-> A.y((y e. A -> x e. y) /\ (y e. B -> x e. y)))
7		visset 1350	. . . . . 6 |- x e. V
8	7	elint 1971	. . . . 5 |- (x e. |^|A <-> A.y(y e. A -> x e. y))
9	7	elint 1971	. . . . 5 |- (x e. |^|B <-> A.y(y e. B -> x e. y))
10	8, 9	anbi12i 369	. . . 4 |- ((x e. |^|A /\ x e. |^|B) <-> (A.y(y e. A -> x e. y) /\ A.y(y e. B -> x e. y)))
11	1, 6, 10	3bitr4 158	. . 3 |- (A.y(y e. (A u. B) -> x e. y) <-> (x e. |^|A /\ x e. |^|B))
12	7	elint 1971	. . 3 |- (x e. |^|(A u. B) <-> A.y(y e. (A u. B) -> x e. y))
13		elin 1635	. . 3 |- (x e. (|^|A i^i |^|B) <-> (x e. |^|A /\ x e. |^|B))
14	11, 12, 13	3bitr4 158	. 2 |- (x e. |^|(A u. B) <-> x e. (|^|A i^i |^|B))
15	14	cleqri 1101	1 |- |^|(A u. B) = (|^|A i^i |^|B)

Syntax hints:   -> wi 2   \/ wo 195   /\ wa 196  A.wal 672   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092   u. cun 1485   i^i cin 1486  |^|cint 1965

This theorem is referenced by:  intunsn 1993

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-un 1490  df-in 1491  df-int 1966

metamath.org