Theorem isocnv 2934

Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
isocnv	|- (H Isom R, S (A, B) -> `'H Isom S, R (B, A))

Proof of Theorem isocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 2811	. . . 4 |- (H:A-1-1-onto->B -> `'H:B-1-1-onto->A)
2	1	adantr 306	. . 3 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> `'H:B-1-1-onto->A)
3		f1ocnvfv2 2920	. . . . . . . . . 10 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ z e. B) -> (H` (`'H` z)) = z)
4	3	adantrr 312	. . . . . . . . 9 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (H` (`'H` z)) = z)
5		f1ocnvfv2 2920	. . . . . . . . . 10 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ w e. B) -> (H` (`'H` w)) = w)
6	5	adantrl 311	. . . . . . . . 9 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (H` (`'H` w)) = w)
7	4, 6	breq12d 2073	. . . . . . . 8 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> zSw))
8	7	adantlr 310	. . . . . . 7 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> zSw))
9		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . 12 |- ((`'H:B-->A /\ z e. B) -> (`'H` z) e. A)
10	9	exp 291	. . . . . . . . . . 11 |- (`'H:B-->A -> (z e. B -> (`'H` z) e. A))
11		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . 12 |- ((`'H:B-->A /\ w e. B) -> (`'H` w) e. A)
12	11	exp 291	. . . . . . . . . . 11 |- (`'H:B-->A -> (w e. B -> (`'H` w) e. A))
13	10, 12	anim12d 431	. . . . . . . . . 10 |- (`'H:B-->A -> ((z e. B /\ w e. B) -> ((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A)))
14		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = (`'H` z) -> (xRy <-> (`'H` z)Ry))
15		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = (`'H` z) -> (H` x) = (H` (`'H` z)))
16	15	breq1d 2071	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = (`'H` z) -> ((H` x)S(H` y) <-> (H` (`'H` z))S(H` y)))
17	14, 16	bibi12d 477	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (`'H` z) -> ((xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> ((`'H` z)Ry <-> (H` (`'H` z))S(H` y))))
18		bicom 398	. . . . . . . . . . . 12 |- (((`'H` z)Ry <-> (H` (`'H` z))S(H` y)) <-> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry))
19	17, 18	syl6bb 414	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (`'H` z) -> ((xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry)))
20		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (`'H` w) -> (H` y) = (H` (`'H` w)))
21	20	breq2d 2072	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (`'H` w) -> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (H` (`'H` z))S(H` (`'H` w))))
22		breq2 2066	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (`'H` w) -> ((`'H` z)Ry <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
23	21, 22	bibi12d 477	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (`'H` w) -> (((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry) <-> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
24	19, 23	rcla42v 1404	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y)) -> (((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
25	13, 24	sylan9 359	. . . . . . . . 9 |- ((`'H:B-->A /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> ((z e. B /\ w e. B) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
26		f1of 2800	. . . . . . . . . 10 |- (`'H:B-1-1-onto->A -> `'H:B-->A)
27	1, 26	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (H:A-1-1-onto->B -> `'H:B-->A)
28	25, 27	sylan 343	. . . . . . . 8 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> ((z e. B /\ w e. B) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
29	28	imp 277	. . . . . . 7 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
30	8, 29	bitr3d 408	. . . . . 6 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
31	30	exp32 294	. . . . 5 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (z e. B -> (w e. B -> (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))))
32	31	r19.21adv 1262	. . . 4 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (z e. B -> A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
33	32	r19.21aiv 1259	. . 3 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
34	2, 33	jca 236	. 2 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (`'H:B-1-1-onto->A /\ A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
35		df-iso 2439	. 2 |- (H Isom R, S (A, B) <-> (H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
36		df-iso 2439	. 2 |- (`'H Isom S, R (B, A) <-> (`'H:B-1-1-onto->A /\ A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
37	34, 35, 36	3imtr4 192	1 |- (H Isom R, S (A, B) -> `'H Isom S, R (B, A))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201   class class class wbr 2054  `'ccnv 2409  -->wf 2418  -1-1-onto->wf1o 2421  ` cfv 2422   Isom wiso 2423

This theorem is referenced by:  isofr 2940

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-iso 2439

metamath.org