Theorem isoid 2933

Description: Identity law for isomorphism. Proposition 6.30(1) of [TakeutiZaring] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
isoid	|- (I |` A) Isom R, R (A, A)

Proof of Theorem isoid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 2825	. . 3 |- (I |` A):A-1-1-onto->A
2		fvres 2840	. . . . . . 7 |- (x e. A -> ((I |` A)` x) = (I` x))
3		visset 1350	. . . . . . . 8 |- x e. V
4		fvi 2900	. . . . . . . 8 |- (x e. V -> (I` x) = x)
5	3, 4	ax-mp 6	. . . . . . 7 |- (I` x) = x
6	2, 5	syl6eq 1140	. . . . . 6 |- (x e. A -> ((I |` A)` x) = x)
7		fvres 2840	. . . . . . 7 |- (y e. A -> ((I |` A)` y) = (I` y))
8		visset 1350	. . . . . . . 8 |- y e. V
9		fvi 2900	. . . . . . . 8 |- (y e. V -> (I` y) = y)
10	8, 9	ax-mp 6	. . . . . . 7 |- (I` y) = y
11	7, 10	syl6eq 1140	. . . . . 6 |- (y e. A -> ((I |` A)` y) = y)
12	6, 11	breqan12d 2074	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (((I |` A)` x)R((I |` A)` y) <-> xRy))
13	12	bicomd 399	. . . 4 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (xRy <-> ((I |` A)` x)R((I |` A)` y)))
14	13	rgen2 1248	. . 3 |- A.x e. A A.y e. A (xRy <-> ((I |` A)` x)R((I |` A)` y))
15	1, 14	pm3.2i 234	. 2 |- ((I |` A):A-1-1-onto->A /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> ((I |` A)` x)R((I |` A)` y)))
16		df-iso 2439	. 2 |- ((I |` A) Isom R, R (A, A) <-> ((I |` A):A-1-1-onto->A /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> ((I |` A)` x)R((I |` A)` y))))
17	15, 16	mpbir 165	1 |- (I |` A) Isom R, R (A, A)

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  Icid 2057   |` cres 2412  -1-1-onto->wf1o 2421  ` cfv 2422   Isom wiso 2423

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-iso 2439

metamath.org