Theorem isotr 2935

Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
isotr	|- ((H Isom R, S (A, B) /\ G Isom S, T (B, C)) -> (G o. H) Isom R, T (A, C))

Proof of Theorem isotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 256	. . . . . 6 |- ((G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u))) -> G:B-1-1-onto->C)
2		pm3.26 256	. . . . . 6 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) -> H:A-1-1-onto->B)
3	1, 2	anim12i 268	. . . . 5 |- (((G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u))) /\ (H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)))) -> (G:B-1-1-onto->C /\ H:A-1-1-onto->B))
4	3	ancoms 334	. . . 4 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> (G:B-1-1-onto->C /\ H:A-1-1-onto->B))
5		f1oco 2816	. . . 4 |- ((G:B-1-1-onto->C /\ H:A-1-1-onto->B) -> (G o. H):A-1-1-onto->C)
6	4, 5	syl 12	. . 3 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> (G o. H):A-1-1-onto->C)
7		f1of 2800	. . . . . . . . . . 11 |- (H:A-1-1-onto->B -> H:A-->B)
8		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((H:A-->B /\ x e. A) -> (H` x) e. B)
9	8	exp 291	. . . . . . . . . . . 12 |- (H:A-->B -> (x e. A -> (H` x) e. B))
10		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((H:A-->B /\ y e. A) -> (H` y) e. B)
11	10	exp 291	. . . . . . . . . . . 12 |- (H:A-->B -> (y e. A -> (H` y) e. B))
12	9, 11	anim12d 431	. . . . . . . . . . 11 |- (H:A-->B -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x) e. B /\ (H` y) e. B)))
13	7, 12	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (H:A-1-1-onto->B -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x) e. B /\ (H` y) e. B)))
14	13	adantr 306	. . . . . . . . 9 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x) e. B /\ (H` y) e. B)))
15		breq1 2065	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = (H` x) -> (vSu <-> (H` x)Su))
16		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = (H` x) -> (G` v) = (G` (H` x)))
17	16	breq1d 2071	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = (H` x) -> ((G` v)T(G` u) <-> (G` (H` x))T(G` u)))
18	15, 17	bibi12d 477	. . . . . . . . . . 11 |- (v = (H` x) -> ((vSu <-> (G` v)T(G` u)) <-> ((H` x)Su <-> (G` (H` x))T(G` u))))
19		breq2 2066	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = (H` y) -> ((H` x)Su <-> (H` x)S(H` y)))
20		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = (H` y) -> (G` u) = (G` (H` y)))
21	20	breq2d 2072	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = (H` y) -> ((G` (H` x))T(G` u) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
22	19, 21	bibi12d 477	. . . . . . . . . . 11 |- (u = (H` y) -> (((H` x)Su <-> (G` (H` x))T(G` u)) <-> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
23	18, 22	rcla42v 1404	. . . . . . . . . 10 |- (A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)) -> (((H` x) e. B /\ (H` y) e. B) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
24	23	adantl 305	. . . . . . . . 9 |- ((G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u))) -> (((H` x) e. B /\ (H` y) e. B) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
25	14, 24	sylan9 359	. . . . . . . 8 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
26	25	imp 277	. . . . . . 7 |- ((((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
27		breq1 2065	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = x -> (zRw <-> xRw))
28		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = x -> (H` z) = (H` x))
29	28	breq1d 2071	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = x -> ((H` z)S(H` w) <-> (H` x)S(H` w)))
30	27, 29	bibi12d 477	. . . . . . . . . . 11 |- (z = x -> ((zRw <-> (H` z)S(H` w)) <-> (xRw <-> (H` x)S(H` w))))
31		breq2 2066	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = y -> (xRw <-> xRy))
32		fveq2 2832	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = y -> (H` w) = (H` y))
33	32	breq2d 2072	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = y -> ((H` x)S(H` w) <-> (H` x)S(H` y)))
34	31, 33	bibi12d 477	. . . . . . . . . . 11 |- (w = y -> ((xRw <-> (H` x)S(H` w)) <-> (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
35	30, 34	rcla42v 1404	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)) -> ((x e. A /\ y e. A) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
36	35	imp 277	. . . . . . . . 9 |- ((A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
37	36	adantll 309	. . . . . . . 8 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
38	37	adantlr 310	. . . . . . 7 |- ((((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
39		fvco3 2867	. . . . . . . . . . 11 |- (((Fun G /\ H:A-->B) /\ x e. A) -> ((G o. H)` x) = (G` (H` x)))
40	39	adantrr 312	. . . . . . . . . 10 |- (((Fun G /\ H:A-->B) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> ((G o. H)` x) = (G` (H` x)))
41		fvco3 2867	. . . . . . . . . . 11 |- (((Fun G /\ H:A-->B) /\ y e. A) -> ((G o. H)` y) = (G` (H` y)))
42	41	adantrl 311	. . . . . . . . . 10 |- (((Fun G /\ H:A-->B) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> ((G o. H)` y) = (G` (H` y)))
43	40, 42	breq12d 2073	. . . . . . . . 9 |- (((Fun G /\ H:A-->B) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (((G o. H)` x)T((G o. H)` y) <-> (G` (H` x))T(G` (