Theorem iss 2599

Description: A subclass of the identity function is the identity function restricted to its domain.

Assertion

Ref	Expression
iss	|- (A (_ I <-> A = (I |` dom A))

Proof of Theorem iss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 1502	. . . . . . . 8 |- (A (_ I -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. I))
2		df-br 2063	. . . . . . . . 9 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
3		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- x e. V
4		visset 1350	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
5	3, 4	ideq 2127	. . . . . . . . 9 |- (xIy <-> x = y)
6	2, 5	bitr3 153	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. I <-> x = y)
7	1, 6	syl6ib 185	. . . . . . 7 |- (A (_ I -> (<.x, y>. e. A -> x = y))
8		pm4.71r 482	. . . . . . 7 |- ((<.x, y>. e. A -> x = y) <-> (<.x, y>. e. A <-> (x = y /\ <.x, y>. e. A)))
9	7, 8	sylib 173	. . . . . 6 |- (A (_ I -> (<.x, y>. e. A <-> (x = y /\ <.x, y>. e. A)))
10		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = y <-> y = x)
11	10	anbi1i 368	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = y /\ <.x, y>. e. A) <-> (y = x /\ <.x, y>. e. A))
12	9, 11	syl6bb 414	. . . . . . . . . . 11 |- (A (_ I -> (<.x, y>. e. A <-> (y = x /\ <.x, y>. e. A)))
13	12	biexdv 936	. . . . . . . . . 10 |- (A (_ I -> (E.y<.x, y>. e. A <-> E.y(y = x /\ <.x, y>. e. A)))
14		opeq2 1877	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = x -> <.x, y>. = <.x, x>.)
15	14	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . 11 |- (y = x -> (<.x, y>. e. A <-> <.x, x>. e. A))
16	3, 15	ceqsexv 1371	. . . . . . . . . 10 |- (E.y(y = x /\ <.x, y>. e. A) <-> <.x, x>. e. A)
17	13, 16	syl6bb 414	. . . . . . . . 9 |- (A (_ I -> (E.y<.x, y>. e. A <-> <.x, x>. e. A))
18	3	eldm2 2528	. . . . . . . . 9 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
19	17, 18	syl5bb 410	. . . . . . . 8 |- (A (_ I -> (x e. dom A <-> <.x, x>. e. A))
20	19	anbi2d 468	. . . . . . 7 |- (A (_ I -> ((x = y /\ x e. dom A) <-> (x = y /\ <.x, x>. e. A)))
21		opeq2 1877	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> <.x, x>. = <.x, y>.)
22	21	eleq1d 1155	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (<.x, x>. e. A <-> <.x, y>. e. A))
23	22	pm5.32i 489	. . . . . . 7 |- ((x = y /\ <.x, x>. e. A) <-> (x = y /\ <.x, y>. e. A))
24	20, 23	syl6bb 414	. . . . . 6 |- (A (_ I -> ((x = y /\ x e. dom A) <-> (x = y /\ <.x, y>. e. A)))
25	9, 24	bitr4d 409	. . . . 5 |- (A (_ I -> (<.x, y>. e. A <-> (x = y /\ x e. dom A)))
26	4	opelres 2579	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (I |` dom A) <-> (<.x, y>. e. I /\ x e. dom A))
27	6	anbi1i 368	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. I /\ x e. dom A) <-> (x = y /\ x e. dom A))
28	26, 27	bitr2 152	. . . . 5 |- ((x = y /\ x e. dom A) <-> <.x, y>. e. (I |` dom A))
29	25, 28	syl6bb 414	. . . 4 |- (A (_ I -> (<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (I |` dom A)))
30	29	19.21aivv 944	. . 3 |- (A (_ I -> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (I |` dom A)))
31		reli 2500	. . . . 5 |- Rel I
32		ssrel 2479	. . . . 5 |- (A (_ I -> (Rel I -> Rel A))
33	31, 32	mpi 44	. . . 4 |- (A (_ I -> Rel A)
34		relres 2591	. . . . 5 |- Rel (I |` dom A)
35		cleqrel 2483	. . . . 5 |- ((Rel A /\ Rel (I |` dom A)) -> (A = (I |` dom A) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (I |` dom A))))
36	34, 35	mpan2 519	. . . 4 |- (Rel A -> (A = (I |` dom A) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (I |` dom A))))
37	33, 36	syl 12	. . 3 |- (A (_ I -> (A = (I |` dom A) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (I |` dom A))))
38	30, 37	mpbird 171	. 2 |- (A (_ I -> A = (I |` dom A))
39		resss 2587	. . 3 |- (I |` dom A) (_ I
40		sseq1 1521	. . 3 |- (A = (I |` dom A) -> (A (_ I <-> (I |` dom A) (_ I))
41	39, 40	mpbiri 169	. 2 |- (A = (I |` dom A) -> A (_ I)
42	38, 41	impbi 139	1 |- (A (_ I <-> A = (I |` dom A))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  <.cop 1810   class class class wbr 2054  Icid 2057  dom cdm 2410   |` cres 2412  Rel wrel 2415

This theorem is referenced by:  f1ococnv2 2817

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-dm 2428  df-res 2430

metamath.org