Theorem iunpw 2040

Description: The power class of an intersection in terms of indexed intersection. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33.

Hypothesis

Ref	Expression
iunpw.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
iunpw	|- (E.x e. A x = U.A <-> P~U.A = U.x e. A P~x)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem iunpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 1522	. . . . . . . 8 |- (x = U.A -> (y (_ x <-> y (_ U.A))
2	1	biimprcd 138	. . . . . . 7 |- (y (_ U.A -> (x = U.A -> y (_ x))
3	2	r19.22sdv 1279	. . . . . 6 |- (y (_ U.A -> (E.x e. A x = U.A -> E.x e. A y (_ x))
4	3	com12 13	. . . . 5 |- (E.x e. A x = U.A -> (y (_ U.A -> E.x e. A y (_ x))
5		ssiun 2018	. . . . . . 7 |- (E.x e. A y (_ x -> y (_ U.x e. A x)
6		uniiun 2026	. . . . . . 7 |- U.A = U.x e. A x
7	5, 6	syl6ssr 1547	. . . . . 6 |- (E.x e. A y (_ x -> y (_ U.A)
8	7	a1i 7	. . . . 5 |- (E.x e. A x = U.A -> (E.x e. A y (_ x -> y (_ U.A))
9	4, 8	impbid 397	. . . 4 |- (E.x e. A x = U.A -> (y (_ U.A <-> E.x e. A y (_ x))
10		visset 1350	. . . . 5 |- y e. V
11	10	elpw 1801	. . . 4 |- (y e. P~U.A <-> y (_ U.A)
12		eliun 1998	. . . . 5 |- (y e. U.x e. A P~x <-> E.x e. A y e. P~x)
13		df-pw 1799	. . . . . . 7 |- P~x = {y | y (_ x}
14	13	cleqabi 1176	. . . . . 6 |- (y e. P~x <-> y (_ x)
15	14	birex 1224	. . . . 5 |- (E.x e. A y e. P~x <-> E.x e. A y (_ x)
16	12, 15	bitr 151	. . . 4 |- (y e. U.x e. A P~x <-> E.x e. A y (_ x)
17	9, 11, 16	3bitr4g 428	. . 3 |- (E.x e. A x = U.A -> (y e. P~U.A <-> y e. U.x e. A P~x))
18	17	cleqrd 1100	. 2 |- (E.x e. A x = U.A -> P~U.A = U.x e. A P~x)
19		ssid 1519	. . . . 5 |- U.A (_ U.A
20		eleq2 1150	. . . . . 6 |- (P~U.A = U.x e. A P~x -> (U.A e. P~ U.A <-> U.A e. U. x e. A P~x))
21		iunpw.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
22	21	uniex 1947	. . . . . . 7 |- U.A e. V
23	22	elpw 1801	. . . . . 6 |- (U.A e. P~ U.A <-> U.A (_ U.A)
24	20, 23	syl5bbr 412	. . . . 5 |- (P~U.A = U.x e. A P~x -> (U.A (_ U.A <-> U.A e. U. x e. A P~x))
25	19, 24	mpbii 168	. . . 4 |- (P~U.A = U.x e. A P~x -> U.A e. U. x e. A P~x)
26		eliun 1998	. . . 4 |- (U.A e. U. x e. A P~x <-> E.x e. A U.A e. P~ x)
27	25, 26	sylib 173	. . 3 |- (P~U.A = U.x e. A P~x -> E.x e. A U.A e. P~ x)
28		elssuni 1940	. . . . . . 7 |- (x e. A -> x (_ U.A)
29	22	elpw 1801	. . . . . . . 8 |- (U.A e. P~ x <-> U.A (_ x)
30	29	biimp 133	. . . . . . 7 |- (U.A e. P~ x -> U.A (_ x)
31	28, 30	anim12i 268	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ U.A e. P~ x) -> (x (_ U.A /\ U.A (_ x))
32		eqss 1516	. . . . . 6 |- (x = U.A <-> (x (_ U.A /\ U.A (_ x))
33	31, 32	sylibr 175	. . . . 5 |- ((x e. A /\ U.A e. P~ x) -> x = U.A)
34	33	exp 291	. . . 4 |- (x e. A -> (U.A e. P~ x -> x = U.A))
35	34	r19.22i 1273	. . 3 |- (E.x e. A U.A e. P~ x -> E.x e. A x = U.A)
36	27, 35	syl 12	. 2 |- (P~U.A = U.x e. A P~x -> E.x e. A x = U.A)
37	18, 36	impbi 139	1 |- (E.x e. A x = U.A <-> P~U.A = U.x e. A P~x)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  Vcvv 1348   (_ wss 1487  P~cpw 1798  U.cuni 1919  U.ciun 1994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-pw 1799  df-uni 1920  df-iun 1996

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