Theorem iunss 2017

Description: Subset theorem for an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
iunss	|- (U.x e. A B (_ C <-> A.x e. A B (_ C)

Distinct variable group(s):   x,C

Proof of Theorem iunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 1497	. . . 4 |- (B (_ C <-> A.y(y e. B -> y e. C))
2	1	biral 1223	. . 3 |- (A.x e. A B (_ C <-> A.x e. A A.y(y e. B -> y e. C))
3		df-ral 1205	. . 3 |- (A.x e. A A.y(y e. B -> y e. C) <-> A.x(x e. A -> A.y(y e. B -> y e. C)))
4		impexp 276	. . . . . 6 |- (((x e. A /\ y e. B) -> y e. C) <-> (x e. A -> (y e. B -> y e. C)))
5	4	bial 695	. . . . 5 |- (A.y((x e. A /\ y e. B) -> y e. C) <-> A.y(x e. A -> (y e. B -> y e. C)))
6		19.21v 942	. . . . 5 |- (A.y(x e. A -> (y e. B -> y e. C)) <-> (x e. A -> A.y(y e. B -> y e. C)))
7	5, 6	bitr2 152	. . . 4 |- ((x e. A -> A.y(y e. B -> y e. C)) <-> A.y((x e. A /\ y e. B) -> y e. C))
8	7	bial 695	. . 3 |- (A.x(x e. A -> A.y(y e. B -> y e. C)) <-> A.xA.y((x e. A /\ y e. B) -> y e. C))
9	2, 3, 8	3bitr 155	. 2 |- (A.x e. A B (_ C <-> A.xA.y((x e. A /\ y e. B) -> y e. C))
10		19.23v 950	. . . . 5 |- (A.x((x e. A /\ y e. B) -> y e. C) <-> (E.x(x e. A /\ y e. B) -> y e. C))
11		eliun 1998	. . . . . . 7 |- (y e. U.x e. A B <-> E.x e. A y e. B)
12		df-rex 1206	. . . . . . 7 |- (E.x e. A y e. B <-> E.x(x e. A /\ y e. B))
13	11, 12	bitr 151	. . . . . 6 |- (y e. U.x e. A B <-> E.x(x e. A /\ y e. B))
14	13	imbi1i 161	. . . . 5 |- ((y e. U.x e. A B -> y e. C) <-> (E.x(x e. A /\ y e. B) -> y e. C))
15	10, 14	bitr4 154	. . . 4 |- (A.x((x e. A /\ y e. B) -> y e. C) <-> (y e. U.x e. A B -> y e. C))
16	15	bial 695	. . 3 |- (A.yA.x((x e. A /\ y e. B) -> y e. C) <-> A.y(y e. U.x e. A B -> y e. C))
17		alcom 715	. . 3 |- (A.xA.y((x e. A /\ y e. B) -> y e. C) <-> A.yA.x((x e. A /\ y e. B) -> y e. C))
18		dfss2 1497	. . 3 |- (U.x e. A B (_ C <-> A.y(y e. U.x e. A B -> y e. C))
19	16, 17, 18	3bitr4 158	. 2 |- (A.xA.y((x e. A /\ y e. B) -> y e. C) <-> U.x e. A B (_ C)
20	9, 19	bitr2 152	1 |- (U.x e. A B (_ C <-> A.x e. A B (_ C)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   (_ wss 1487  U.ciun 1994

This theorem is referenced by:  iunss2 2021  oawordeulem 3156  trcl 3489  r1val1 3502  rankuni 3533  rankuniss 3534  ranklon 3540

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-iun 1996

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