Theorem iunxun 2035

Description: Separate a union in the index of an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
iunxun	|- U.x e. (A u. B)C = (U.x e. A C u. U.x e. B C)

Proof of Theorem iunxun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1206	. . . 4 |- (E.x e. (A u. B)y e. C <-> E.x(x e. (A u. B) /\ y e. C))
2		elun 1601	. . . . . . 7 |- (x e. (A u. B) <-> (x e. A \/ x e. B))
3	2	anbi1i 368	. . . . . 6 |- ((x e. (A u. B) /\ y e. C) <-> ((x e. A \/ x e. B) /\ y e. C))
4		andir 457	. . . . . 6 |- (((x e. A \/ x e. B) /\ y e. C) <-> ((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)))
5	3, 4	bitr 151	. . . . 5 |- ((x e. (A u. B) /\ y e. C) <-> ((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)))
6	5	biex 733	. . . 4 |- (E.x(x e. (A u. B) /\ y e. C) <-> E.x((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)))
7		19.43 767	. . . . 5 |- (E.x((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)) <-> (E.x(x e. A /\ y e. C) \/ E.x(x e. B /\ y e. C)))
8		eliun 1998	. . . . . . 7 |- (y e. U.x e. A C <-> E.x e. A y e. C)
9		df-rex 1206	. . . . . . 7 |- (E.x e. A y e. C <-> E.x(x e. A /\ y e. C))
10	8, 9	bitr 151	. . . . . 6 |- (y e. U.x e. A C <-> E.x(x e. A /\ y e. C))
11		eliun 1998	. . . . . . 7 |- (y e. U.x e. B C <-> E.x e. B y e. C)
12		df-rex 1206	. . . . . . 7 |- (E.x e. B y e. C <-> E.x(x e. B /\ y e. C))
13	11, 12	bitr 151	. . . . . 6 |- (y e. U.x e. B C <-> E.x(x e. B /\ y e. C))
14	10, 13	orbi12i 216	. . . . 5 |- ((y e. U.x e. A C \/ y e. U.x e. B C) <-> (E.x(x e. A /\ y e. C) \/ E.x(x e. B /\ y e. C)))
15	7, 14	bitr4 154	. . . 4 |- (E.x((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y e. U.x e. A C \/ y e. U.x e. B C))
16	1, 6, 15	3bitr 155	. . 3 |- (E.x e. (A u. B)y e. C <-> (y e. U.x e. A C \/ y e. U.x e. B C))
17		eliun 1998	. . 3 |- (y e. U.x e. (A u. B)C <-> E.x e. (A u. B)y e. C)
18		elun 1601	. . 3 |- (y e. (U.x e. A C u. U.x e. B C) <-> (y e. U.x e. A C \/ y e. U.x e. B C))
19	16, 17, 18	3bitr4 158	. 2 |- (y e. U.x e. (A u. B)C <-> y e. (U.x e. A C u. U.x e. B C))
20	19	cleqri 1101	1 |- U.x e. (A u. B)C = (U.x e. A C u. U.x e. B C)

Syntax hints:   \/ wo 195   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202   u. cun 1485  U.ciun 1994

This theorem is referenced by:  kmlem10 3589

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-un 1490  df-iun 1996

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