Theorem kmlem3 3582

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. The right-hand side is part of the hypothesis of 4.

Assertion

Ref	Expression
kmlem3	|- (-. (z \ U.(x \ {z})) = (/) <-> E.v e. z A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)))

Distinct variable group(s):   x,z,w,v

Proof of Theorem kmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdif2 1495	. . . . 5 |- (z \ U.(x \ {z})) = {v e. z | -. v e. U.(x \ {z})}
2		dfnul3 1710	. . . . . . 7 |- (/) = {v e. z | -. v e. z}
3	2	uneq2i 1608	. . . . . 6 |- ({v e. z | -. v e. U.(x \ {z})} u. (/)) = ({v e. z | -. v e. U.(x \ {z})} u. {v e. z | -. v e. z})
4		un0 1721	. . . . . 6 |- ({v e. z | -. v e. U.(x \ {z})} u. (/)) = {v e. z | -. v e. U.(x \ {z})}
5		unrab 1694	. . . . . 6 |- ({v e. z | -. v e. U.(x \ {z})} u. {v e. z | -. v e. z}) = {v e. z | (-. v e. U.(x \ {z}) \/ -. v e. z)}
6	3, 4, 5	3eqtr3 1124	. . . . 5 |- {v e. z | -. v e. U.(x \ {z})} = {v e. z | (-. v e. U.(x \ {z}) \/ -. v e. z)}
7		ianor 253	. . . . . . . 8 |- (-. (v e. U.(x \ {z}) /\ v e. z) <-> (-. v e. U.(x \ {z}) \/ -. v e. z))
8		rexnal 1210	. . . . . . . . . 10 |- (E.w e. x -. (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)) <-> -. A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)))
9		df-rex 1206	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.w e. x -. (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)) <-> E.w(w e. x /\ -. (-. z = w -> -. v e. (z i^i w))))
10		eldif 1496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w e. (x \ {z}) <-> (w e. x /\ -. w e. {z}))
11		elsn 1820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w e. {z} <-> w = z)
12		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w = z <-> z = w)
13	11, 12	bitr 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (w e. {z} <-> z = w)
14	13	negbii 162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (-. w e. {z} <-> -. z = w)
15	14	anbi2i 367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w e. x /\ -. w e. {z}) <-> (w e. x /\ -. z = w))
16	10, 15	bitr 151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. (x \ {z}) <-> (w e. x /\ -. z = w))
17	16	anbi2i 367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((v e. w /\ v e. z) /\ w e. (x \ {z})) <-> ((v e. w /\ v e. z) /\ (w e. x /\ -. z = w)))
18		ancom 333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((v e. w /\ v e. z) <-> (v e. z /\ v e. w))
19	18	anbi1i 368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((v e. w /\ v e. z) /\ (w e. x /\ -. z = w)) <-> ((v e. z /\ v e. w) /\ (w e. x /\ -. z = w)))
20		ancom 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((v e. z /\ v e. w) /\ (w e. x /\ -. z = w)) <-> ((w e. x /\ -. z = w) /\ (v e. z /\ v e. w)))
21	19, 20	bitr 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((v e. w /\ v e. z) /\ (w e. x /\ -. z = w)) <-> ((w e. x /\ -. z = w) /\ (v e. z /\ v e. w)))
22		anass 336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((w e. x /\ -. z = w) /\ (v e. z /\ v e. w)) <-> (w e. x /\ (-. z = w /\ (v e. z /\ v e. w))))
23	17, 21, 22	3bitr 155	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((v e. w /\ v e. z) /\ w e. (x \ {z})) <-> (w e. x /\ (-. z = w /\ (v e. z /\ v e. w))))
24		an23 371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((v e. w /\ v e. z) /\ w e. (x \ {z})) <-> ((v e. w /\ w e. (x \ {z})) /\ v e. z))
25		elin 1635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v e. (z i^i w) <-> (v e. z /\ v e. w))
26	25	anbi2i 367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((-. z = w /\ v e. (z i^i w)) <-> (-. z = w /\ (v e. z /\ v e. w)))
27		df-an 198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((-. z = w /\ v e. (z i^i w)) <-> -. (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)))
28	26, 27	bitr3 153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. z = w /\ (v e. z /\ v e. w)) <-> -. (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)))
29	28	anbi2i 367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. x /\ (-. z = w /\ (v e. z /\ v e. w))) <-> (w e. x /\ -. (-. z = w -> -. v e. (z i^i w))))
30	23, 24, 29	3bitr3r 157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. x /\ -. (-. z = w -> -. v e. (z i^i w))) <-> ((v e. w /\ w e. (x \ {z})) /\ v e. z))
31	30	biex 733	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.w(w e. x /\ -. (-. z = w -> -. v e. (z i^i w))) <-> E.w((v e. w /\ w e. (x \ {z})) /\ v e. z))
32		19.41v 963	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.w((v e. w /\ w e. (x \ {z})) /\ v e. z) <-> (E.w(v e. w /\ w e. (x \ {z})) /\ v e. z))
33	9, 31, 32	3bitr 155	. . . . . . . . . . 11 |- (E.w e. x -. (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)) <-> (E.w(v e. w /\ w e. (x \ {z})) /\ v e. z))
34		eluni 1922	. . . . . . . . . . . 12 |- (v e. U.(x \ {z}) <-> E.w(v e. w /\ w e. (x \ {z})))
35	34	anbi1i 368	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. U.(x \ {z}) /\ v e. z) <-> (E.w(v e. w /\ w e. (x \ {z})) /\ v e. z))
36	33, 35	bitr4 154	. . . . . . . . . 10 |- (E.w e. x -. (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)) <-> (v e. U.(x \ {z}) /\ v e. z))
37	8, 36	bitr3 153	. . . . . . . . 9 |- (-. A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)) <-> (v e. U.(x \ {z}) /\ v e. z))
38	37	bicon1i 193	. . . . . . . 8 |- (-. (v e. U.(x \ {z}) /\ v e. z) <-> A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)))
39	7, 38	bitr3 153	. . . . . . 7 |- ((-. v e. U.(x \ {z}) \/ -. v e. z) <-> A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)))
40	39	a1i 7	. . . . . 6 |- (v e. z -> ((-. v e. U.(x \ {z}) \/ -. v e. z) <-> A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w))))
41	40	birabi 1342	. . . . 5 |- {v e. z | (-. v e. U.(x \ {z}) \/ -. v e. z)} = {v e. z | A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w))}
42	1, 6, 41	3eqtr 1123	. . . 4 |- (z \ U.(x \ {z})) = {v e. z | A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w))}
43	42	cleq1i 1108	. . 3 |- ((z \ U.(x \ {z})) = (/) <-> {v e. z | A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w))} = (/))
44	43	negbii 162	. 2 |- (-. (z \ U.(x \ {z})) = (/) <-> -. {v e. z | A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w))} = (/))
45		rabn0 1716	. 2 |- (-. {v e. z | A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w))} = (/) <-> E.v e. z A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)))
46	44, 45	bitr 151	1 |- (-. (z \ U.(x \ {z})) = (/) <-> E.v e. z A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  {crab 1204   \ cdif 1484   u. cun 1485   i^i cin 1486  (/)c0 1707  {csn 1808  U.cuni 1919

This theorem is referenced by:  kmlem12 3591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-nul 1708  df-sn 1811  df-uni 1920

metamath.org