Theorem kmlem5 3584

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4.

Assertion

Ref	Expression
kmlem5	|- ((w e. x /\ -. z = w) -> ((z \ U.(x \ {z})) i^i (w \ U.(x \ {w}))) = (/))

Proof of Theorem kmlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 1596	. . . 4 |- (w \ U.(x \ {w})) (_ w
2		sslin 1662	. . . 4 |- ((w \ U.(x \ {w})) (_ w -> ((z \ U.(x \ {z})) i^i (w \ U.(x \ {w}))) (_ ((z \ U.(x \ {z})) i^i w))
3	1, 2	ax-mp 6	. . 3 |- ((z \ U.(x \ {z})) i^i (w \ U.(x \ {w}))) (_ ((z \ U.(x \ {z})) i^i w)
4		kmlem4 3583	. . . 4 |- ((w e. x /\ -. z = w) -> ((z \ U.(x \ {z})) i^i w) = (/))
5	4	sseq2d 1528	. . 3 |- ((w e. x /\ -. z = w) -> (((z \ U.(x \ {z})) i^i (w \ U.(x \ {w}))) (_ ((z \ U.(x \ {z})) i^i w) <-> ((z \ U.(x \ {z})) i^i (w \ U.(x \ {w}))) (_ (/)))
6	3, 5	mpbii 168	. 2 |- ((w e. x /\ -. z = w) -> ((z \ U.(x \ {z})) i^i (w \ U.(x \ {w}))) (_ (/))
7		ss0b 1726	. 2 |- (((z \ U.(x \ {z})) i^i (w \ U.(x \ {w}))) (_ (/) <-> ((z \ U.(x \ {z})) i^i (w \ U.(x \ {w}))) = (/))
8	6, 7	sylib 173	1 |- ((w e. x /\ -. z = w) -> ((z \ U.(x \ {z})) i^i (w \ U.(x \ {w}))) = (/))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   = weq 797   e. wel 803   = wceq 1091   \ cdif 1484   i^i cin 1486   (_ wss 1487  (/)c0 1707  {csn 1808  U.cuni 1919

This theorem is referenced by:  kmlem8 3587

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-sn 1811  df-uni 1920

metamath.org