Theorem kmlem7 3586

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 4 => 1.

Assertion

Ref	Expression
kmlem7	|- ((A.z e. x -. z = (/) /\ A.z e. x A.w e. x (-. z = w -> (z i^i w) = (/))) -> -. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)))

Distinct variable group(s):   x,z,w,v

Proof of Theorem kmlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem6 3585	. 2 |- ((A.z e. x -. z = (/) /\ A.z e. x A.w e. x (-. z = w -> (z i^i w) = (/))) -> A.z e. x E.v e. z A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)))
2		imnan 207	. . . . . . . 8 |- ((-. z = w -> -. v e. (z i^i w)) <-> -. (-. z = w /\ v e. (z i^i w)))
3	2	biral 1223	. . . . . . 7 |- (A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)) <-> A.w e. x -. (-. z = w /\ v e. (z i^i w)))
4		ralnex 1209	. . . . . . 7 |- (A.w e. x -. (-. z = w /\ v e. (z i^i w)) <-> -. E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)))
5	3, 4	bitr 151	. . . . . 6 |- (A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)) <-> -. E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)))
6	5	birex 1224	. . . . 5 |- (E.v e. z A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)) <-> E.v e. z -. E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)))
7		rexnal 1210	. . . . 5 |- (E.v e. z -. E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)) <-> -. A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)))
8	6, 7	bitr 151	. . . 4 |- (E.v e. z A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)) <-> -. A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)))
9	8	biral 1223	. . 3 |- (A.z e. x E.v e. z A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)) <-> A.z e. x -. A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)))
10		ralnex 1209	. . 3 |- (A.z e. x -. A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)) <-> -. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)))
11	9, 10	bitr 151	. 2 |- (A.z e. x E.v e. z A.w e. x (-. z = w -> -. v e. (z i^i w)) <-> -. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)))
12	1, 11	sylib 173	1 |- ((A.z e. x -. z = (/) /\ A.z e. x A.w e. x (-. z = w -> (z i^i w) = (/))) -> -. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (-. z = w /\ v e. (z i^i w)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   i^i cin 1486  (/)c0 1707

This theorem is referenced by:  kmlem12 3591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-nul 1708

metamath.org