Theorem kmlem9 3588

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4.

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem8.1	|- A = {u | E.t e. x u = (t \ U.(x \ {t}))}

Assertion

Ref	Expression
kmlem9	|- (A.h(A.z e. h A.w e. h (-. z = w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) -> E.yA.z e. A ph)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,u,t,h   y,A,z,w,h   ph,h

Proof of Theorem kmlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem8.1	. . 3 |- A = {u | E.t e. x u = (t \ U.(x \ {t}))}
2	1	kmlem8 3587	. 2 |- A.z e. A A.w e. A (-. z = w -> (z i^i w) = (/))
3		visset 1350	. . . . 5 |- x e. V
4	3	abrexex 2912	. . . 4 |- {u | E.t e. x u = (t \ U.(x \ {t}))} e. V
5	1, 4	eqeltr 1159	. . 3 |- A e. V
6		raleq 1324	. . . . 5 |- (h = A -> (A.w e. h (-. z = w -> (z i^i w) = (/)) <-> A.w e. A (-. z = w -> (z i^i w) = (/))))
7	6	raleqd 1327	. . . 4 |- (h = A -> (A.z e. h A.w e. h (-. z = w -> (z i^i w) = (/)) <-> A.z e. A A.w e. A (-. z = w -> (z i^i w) = (/))))
8		raleq 1324	. . . . 5 |- (h = A -> (A.z e. h ph <-> A.z e. A ph))
9	8	biexdv 936	. . . 4 |- (h = A -> (E.yA.z e. h ph <-> E.yA.z e. A ph))
10	7, 9	imbi12d 474	. . 3 |- (h = A -> ((A.z e. h A.w e. h (-. z = w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) <-> (A.z e. A A.w e. A (-. z = w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. A ph)))
11	5, 10	cla4v 1400	. 2 |- (A.h(A.z e. h A.w e. h (-. z = w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) -> (A.z e. A A.w e. A (-. z = w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. A ph))
12	2, 11	mpi 44	1 |- (A.h(A.z e. h A.w e. h (-. z = w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) -> E.yA.z e. A ph)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091  A.wral 1201  E.wrex 1202  Vcvv 1348   \ cdif 1484   i^i cin 1486  (/)c0 1707  {csn 1808  U.cuni 1919

This theorem is referenced by:  kmlem12 3591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438

metamath.org